[論文レビュー] Nonlinear waves in Newton's cradle and the discrete p-Schroedinger equation

Guillaume James|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2010

Nonlinear Photonic Systems参考文献 54被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ヘルツ接触力が完全に非線形的かつ一意的相互作用を引き起こすニュートンのキャリッジにおける小振幅非線形波をモデル化するため、新しい離散的 $p$-シュレーディンガー（DpS）方程式を導出する。DpS方程式は周期的進行波、定常ブレザー、および包絡線不安定性を捉え、進行波に関しては厳密な存在証明がなされ、グランウラー鎖におけるより広範な動的関連性についても強い数値的証拠が得られている。

ABSTRACT

We study nonlinear waves in Newton's cradle, a classical mechanical system consisting of a chain of beads attached to linear pendula and interacting nonlinearly via Hertz's contact forces. We formally derive a spatially discrete modulation equation, for small amplitude nonlinear waves consisting of slow modulations of time-periodic linear oscillations. The fully-nonlinear and unilateral interactions between beads yield a nonstandard modulation equation that we call the discrete p-Schroedinger (DpS) equation. It consists of a spatial discretization of a generalized Schroedinger equation with p-Laplacian, with fractional p>2 depending on the exponent of Hertz's contact force. We show that the DpS equation admits explicit periodic travelling wave solutions, and numerically find a plethora of standing wave solutions given by the orbits of a discrete map, in particular spatially localized breather solutions. Using a modified Lyapunov-Schmidt technique, we prove the existence of exact periodic travelling waves in the chain of beads, close to the small amplitude modulated waves given by the DpS equation. Using numerical simulations, we show that the DpS equation captures several other important features of the dynamics in the weakly nonlinear regime, namely modulational instabilities, the existence of static and travelling breathers, and repulsive or attractive interactions of these localized structures.

研究の動機と目的

• ヘルツ接触力を持つハミルトニアン格子としてのニュートンのキャリッジにおける弱非線形・小振幅波をモデル化すること。
• ビードの相互作用の完全な非線形性と一意的性質を捉える調制方程式を導出すること。
• 修正されたリャプノフ＝シュミット技法を用いて、元の系における周期的進行波の存在を確立すること。
• 導出されたDpS方程式が、ブレザー、包絡線不安定性、およびそれらの相互作用といった主要な動的特徴を正確にモデル化できることを示すこと。
• DpS方程式がヘルツ接触を持つグランウラー鎖における離散的ブレザーおよび波動相互作用に広く適用可能であるかを検討すること。

提案手法

• 多重スケール漸近法を用いて、ニュートンのキャリッジ系から空間的に離散的な調制方程式を形式的に導出する。
• 得られた方程式が $p > 2$ を満たす離散的 $p$-シュレーディンガー（DpS）方程式として特定され、$p$ はヘルツの指数 $\alpha = 3/2$ に依存する。
• 修正されたリャプノフ＝シュミット還元を用いて、元の鎖における正確な周期的進行波の存在を証明する。DpS解に近い解が得られる。
• 離散写像の軌道を用いて、DpS方程式の定常波解（空間的に局在したブレザーを含む）を数値的に計算する。
• 元のニュートンのキャリッジ系をシミュレートし、DpS方程式との動的挙動を比較することで、その予測能力を検証する。
• スペクトル的および統計的手法を用いて、両モデルにおけるブレザーの包絡線不安定性および相互作用特性（引力的／反発的）を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートンのキャリッジにおける完全に非線形的かつ一意的なヘルツ接触相互作用を捉える調制方程式を導出できるか？
• RQ2 導出されたDpS方程式は、明示的な周期的進行波解および局在的ブレザー解を有するか？
• RQ3 DpS方程式の近似解は、元のニュートンのキャリッジ系の正確な解に近いか？
• RQ4 DpS方程式は、元の系で観測された包絡線不安定性およびブレザー相互作用をどの程度正確に再現するか？
• RQ5 DpS方程式は、ヘルツ接触を持つグランウラー鎖における弱非線形動的挙動の信頼できる有効モデルとして機能できるか？

主な発見

• DpS方程式は、ヘルツ接触力が働くニュートンのキャリッジにおける小振幅・ゆっくりと変調される周期的波の調制方程式として導出された。
• DpS方程式は $p > 2$ の離散的 $p$-ラプラシアンを特徴とし、ヘルツ則における非線形指数 $\alpha = 3/2$ を反映している。
• DpS方程式には明示的な周期的進行波解が存在し、修正されたリャプノフ＝シュミット法を用いて、元の系においてもその存在が厳密に証明された。
• 数値的シミュレーションにより、DpS方程式には空間的に局在したブレザーを含む多様な定常波解が存在することが明らかになった。
• DpS方程式は元の系で観測された包絡線不安定性を捉えており、波動包絡線の動的挙動に関連する意義を示している。
• DpS方程式は、ブレザーの相互作用挙動（引力的・反発的）を正確に再現しており、弱非線形領域におけるその予測能力を示している。