[論文レビュー] Nonparametric estimation for Lévy processes from low-frequency observations

Michael H. Neumann, Markus Reiß|ArXiv.org|Sep 13, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程の低頻度離散観測に基づき、Lévy-Khinchine特性の非パrametric最小距離推定量を提案する。経験的特徴関数と新規の一様偏差制御を活用することで、特徴関数の減衰性についての事前知識を必要とせず、一般条件下で一貫性と最適収束速度を確立する。

ABSTRACT

We suppose that a Lévy process is observed at discrete time points. A rather general construction of minimum-distance estimators is shown to give consistent estimators of the Lévy-Khinchine characteristics as the number of observations tends to infinity, keeping the observation distance fixed. For a specific $C^2$-criterion this estimator is rate-optimal. The connection with deconvolution and inverse problems is explained. A key step in the proof is a uniform control on the deviations of the empirical characteristic function on the whole real line.

研究の動機と目的

• 低頻度離散観測からLévy-Khinchine三重組（ドリフト、拡散、ジャンプ測度）の一貫性のある非パラメトリック推定量を開発すること。
• 増分が拡散または複数のジャンプに支配され、各増分ごとに特定できない状況におけるLévy特性の推定の課題に対処すること。
• 特徴関数の減衰性についての事前知識を必要とせず、$C^2$-基準における推定量のレート最適性を確立すること。
• 拡散成分とLévy測度を統合し、単一のファイニットボレル測度$\bar{\nu}_\sigma$にまとめる。
• 推定量の弱収束の理論的基盤を提供し、deconvolution型の推論をLévy過程推定に拡張すること。

提案手法

• i.i.d. 増分$X_{i\Delta} - X_{(i-1)\Delta}$, $i=1,\dots,n$ の経験的特徴関数に基づく最小距離推定量を構築する。
• 拡散成分とジャンプ成分を統合するための結合測度$\bar{\nu}_\sigma = \sigma^2 \delta_0 + \frac{x^2}{1+x^2} \nu(dx)$ を定義する。
• 実験的特徴関数と理論的特徴関数の距離を、実数直線上で$C^2$-基準に基づき最小化する。
• 実数直線上で経験的特徴関数と真の特徴関数の偏差に対する一様制御を確立する。これは主な技術的イノベーションである。
• Hoeffdingの不等式を用いて、経験的特徴関数が小さくなりすぎることの確率を制御し、逆変換ステップの安定性を保証する。
• 特徴関数の逆フーリエ変換により推定量を導出するが、$|\hat{\varphi}_n(u)|$ が小さい場合の特異性に対処する細心の注意を払う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低頻度離散観測からLévy-Khinchine三重組の非パラメトリック推定量を一貫して推定可能か？
• RQ2 低頻度サンプリング下でのLévy過程の非パラメトリック推定における最適収束速度は何か？
• RQ3 特徴関数の減衰速度についての事前知識がなくても、推定量が最適レートに達するか？
• RQ4 経験的特徴関数の実数直線上での一様制御は、安定な逆変換を保証するためにどのように実現されるか？
• RQ5 deconvolution型技術は、Lévy過程の非パラメトリック推定にどの程度適応可能か？

主な発見

• 提案された経験的特徴関数に基づく最小距離推定量は、一般条件下でLévy-Khinchine特性に対して一貫性を示す。
• 推定量は$C^2$-基準において最適収束速度に達し、deconvolution問題における既知の下界と一致する。
• 実数直線上での経験的特徴関数の偏差に対する一様制御は、定理4.1により確立され、証明の中心的役割を果たし、独立に価値ある結果である可能性がある。
• 正則化パrameter や特徴関数の減衰性に関する事前知識が不要でありながら、依然として最適レートを達成する。
• 経験的特徴関数の値が小さい場合に対しても推定量は頑健であり、Hoeffdingの不等式により尾確率が制御される。
• 理論的枠組みにより、推定された測度$\bar{\nu}_\sigma$の弱収束が可能となり、基礎となるLévy過程に関する推論が可能になる。