[論文レビュー] Nonparametric inference on Lévy measures and copulas

Axel Bücher, Mathias Vetter|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Lévy過程の高頻度観測を用いて、多次元Lévy測度およびPareto-Lévyコプヤの非パラメトリック推定量を導入する。尾積分およびコプヤの推定量の弱収束を確立し、$k_n^{-1/2}$ の収束速度（$k_n = n\Delta_n$）を達成する。また、非等間隔サンプリング下でのPareto-Lévyコプヤの新たな解析的性質を提示する。

ABSTRACT

In this paper nonparametric methods to assess the multivariate Lévy measure are introduced. Starting from high-frequency observations of a Lévy process $\mathbf{X}$, we construct estimators for its tail integrals and the Pareto-Lévy copula and prove weak convergence of these estimators in certain function spaces. Given n observations of increments over intervals of length $Δ_n$, the rate of convergence is $k_n^{-1/2}$ for $k_n=nΔ_n$ which is natural concerning inference on the Lévy measure. Besides extensions to nonequidistant sampling schemes analytic properties of the Pareto-Lévy copula which, to the best of our knowledge, have not been mentioned before in the literature are provided as well. We conclude with a short simulation study on the performance of our estimators and apply them to real data.

研究の動機と目的

• 高頻度観測に基づくLévy過程からの多次元Lévy測度に対する非パラメトリック推論手法の開発。
• 関数空間における尾積分およびPareto-Lévyコプヤの推定量の弱収束の確立。
• 文献において未報告のPareto-Lévyコプヤの解析的性質の調査。
• 非等間隔サンプリングスキームへの手法の拡張。
• シミュレーションおよび実データ応用を通じた推定量の性能評価。

提案手法

• 高頻度インクリメントデータを用いて、Lévy測度の尾積分の非パラメトリック推定量を構築する。
• 正規化されたLévy測度に基づき、Pareto-Lévyコプヤを定義し推定する。
• 高頻度漸近的枠組み下で、適切な関数空間における推定量の弱収束を証明する。
• 観測回数$n$および観測間隔長$Δ_n$を用いて$k_n = n\Delta_n$と定義し、収束速度$k_n^{-1/2}$を導出する。
• Pareto-Lévyコプヤの解析的構造を分析し、その従属構造および正則性を含む。
• 推定および収束の議論を適合させることで、非等間隔サンプリングにフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高頻度データから、多次元Lévy測度の非パラメトリック推定量をどのように構築できるか？
• RQ2 尾積分およびPareto-Lévyコプヤの推定量の弱収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 Pareto-Lévyコプヤのこれまで報告のなかった解析的性質は何か？
• RQ4 推定フレームワークは非等間隔サンプリングスキームにどのように拡張できるか？
• RQ5 提案された推定量の有限標本性能は、シミュレーションおよび実データにおいてどのように評価できるか？

主な発見

• 提案された尾積分およびPareto-Lévyコプヤの推定量は、高頻度漸近的枠組み下で関数空間において弱収束を示す。
• 推定量の収束速度は$k_n^{-1/2}$（$k_n = n\Delta_n$）であり、Lévy測度推定において最適である。
• 本稿では、従来報告のなかったPareto-Lévyコプヤの解析的性質（正則性や従属構造など）を同定・特徴づけた。
• 非等間隔サンプリングスキームへの手法の拡張が行われ、理論的妥当性を維持した。
• シミュレーション研究により、推定量の有限標本性能が理論的期待と整合的であることが確認された。
• 実データへの応用により、提案された推論フレームワークの実用的妥当性および関連性が示された。