[論文レビュー] Nonsmooth and level-resolved dynamics illustrated with a periodically driven tight binding model

J. M. Zhang, Masudul Haque|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Theoretical and Computational Physics被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する摂動理論において、周期的に駆動される系の遷移確率が、連続スペクトル内での正確な固有値位置に起因して滑らかでない、折れ線的な挙動を示すことを明らかにした。1次元タイトバインディング模型を用いて、これらの準位分解能のダイナミクスが基本的なsinc関数の恒等式に起因し、摂動論的領域を越えても持続することを示し、粗粒度化近似の有効性に疑問を呈する。

ABSTRACT

We point out that in the first order time-dependent perturbation theory, the transition probability may behave nonsmoothly in time and have kinks periodically. Moreover, the detailed temporal evolution can be sensitive to the exact locations of the eigenvalues in the continuum spectrum, in contrast to coarse-graining ideas. Underlying this nonsmooth and level-resolved dynamics is a simple equality about the sinc function $\sinc x \equiv \sin x / x$. These physical effects appear in many systems with approximately equally spaced spectra, and is also robust for larger-amplitude coupling beyond the domain of perturbation theory. We use a one-dimensional periodically driven tight-binding model to illustrate these effects, both within and outside the perturbative regime.

研究の動機と目的

• 時間に依存する摂動理論の下で、周期的に駆動される量子系における遷移確率の時間的挙動を調査すること。
• 連続スペクトル内での固有値の正確な位置がダイナミクスに与える影響を検討し、粗粒度化近似の有効性に疑問を呈すること。
• 滑らかでない、折れ線的なダイナミクスが、摂動論的結合定数を越えてでも、基本的なsinc関数の恒等式に起因することを示すこと。
• 弱いおよび強い結合領域の両方で、1次元タイトバインディング模型を用いてこれらの効果を可視化すること。

提案手法

• 離散固有状態をもつ周期的駆動のタイトバインディングハミルトニアンに対する一次の時間に依存する摂動理論を分析する。
• 遷移確率が、固有値が連続スペクトルに対して正確にどこにあるかに敏感に依存することを特定し、時間的変化が滑らかでないことを示す。
• 遷移確率における折れ線の原因を説明するための、sinc関数 $\sinc x \equiv \sin x / x$ を含む重要な数学的恒等式を導出し、適用する。
• タイトバインディング模型の数値シミュレーションを用いて、弱いおよび強い結合領域におけるダイナミクスを可視化する。
• 粗粒度化近似との比較を通じて、準位分解能の感度のため、こうしたアプローチの破綻を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ周期的に駆動される系の遷移確率は、滑らかな駆動に対しても時間的に滑らかでない、折れ線的な挙動を示すのか？
• RQ2 連続スペクトル内での固有値の正確な位置が、遷移確率の時間的ダイナミクスにどのように影響を与えるのか？
• RQ3 これらの滑らかでない効果は、一次摂動論の領域を越えてどの程度持続するのか？
• RQ4 滑らかでないダイナミクスが量子遷移確率に現れる背後にある数学的構造は何か？

主な発見

• 遷移確率は、sinc関数の恒等式に支配される干渉効果によって、滑らかでない、折れ線的な時間的変化を示す。
• ダイナミクスは連続スペクトル内での固有値の正確な位置に極めて敏感であり、標準的な粗粒度化仮定を無効にする。
• 観察された滑らかでない挙動は、遷移振幅内の干渉パターンを支配する、sinc関数 $\sinc x \equiv \sin x / x$ の基本的性質に起因する。
• これらの効果は頑健であり、時間に依存する摂動理論の適用範囲を越えて、大きな結合定数に対しても持続する。
• 1次元タイトバインディング模型は、摂動的および非摂動的ダイナミクスを両方とも的確に捉えており、エネルギー準位がおおよそ等間隔をなす系においてこの効果の一般性を確認している。