[論文レビュー] Nontrivial solutions for a class of gradient-type quasilinear elliptic systems

Anna María Candela, Caterina Sportelli|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2022

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、p-ラプラシアン型作用素を含む勾配型準線形楕円型系のクラスに対して、非自明な弱有界解の存在を確立する。問題を特殊なバナッハ空間 X において変分的に定式化することで、関連するエネルギー汎関数 J が C¹ であり、臨界的成長およびアンブロセッティ–ラビノビッツ型の仮定の下で弱セラミ–パラス–スメール条件を満たすことを証明する。一般化されたマウンテン・パス定理を用いて、対称性の条件下で少なくとも1つの臨界点の存在を示し、J が偶関数の場合は無限に多くの臨界点の存在を示す。

ABSTRACT

The aim of this paper is investigating the existence of weak bounded solutions of the gradient-type quasilinear elliptic system $$(P)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} - { m div} ( a_i(x, u_i, abla u_i) ) + A_{i, t} (x, u_i, abla u_i) = G_i(x, \mathbf{u}) &\hbox{ in $\Omega$}\\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad \mbox{ for }\; i\in\{1,\dots,m\},\\ \mathbf{u} = 0 &\hbox{ on $\partial\Omega$,} \end{array} ight.$$ with $m\geq 2$ and $\mathbf{u}=(u_1,\dots, u_{m})$, where $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is an open bounded domain and some functions $A_i:\Omega imes\mathbb{R} imes \mathbb{R}^N ightarrow\mathbb{R}$, $i\in\{1,\dots,m\}$, and $G:\Omega imes\mathbb{R}^m ightarrow\mathbb{R}$ exist such that $a_i(x,t,\xi) = abla_{\xi} A_i(x,t,\xi)$, $A_{i, t} (x,t,\xi) = \frac{\partial A_i}{\partial t} (x,t,\xi)$ and $G_{i}(x,\mathbf{u}) = \frac{\partial G}{\partial u_i}(x,\mathbf{u})$. We prove that, under suitable hypotheses, the functional $\mathcal{J}$ related to problem $(P)$ is $\mathcal{C}^1$ on a "good" Banach space $X$ and satisfies the weak Cerami-Palais-Smale condition. Then, generalized versions of the Mountain Pass Theorems allow us to prove the existence of at least one critical point and, if $\mathcal{J}$ is even, of infinitely many ones, too.

研究の動機と目的

• m ≥ 2 個の微分方程式を含む一般クラスの勾配型準線形楕円型系に対する弱有界解の存在を確立すること。
• 関連エネルギー汎関数が適切なバナッハ空間 X において C¹ であり、弱セラミ–パラス–スメール条件を満たすための十分条件を同定すること。
• 一般化されたマウンテン・パス定理を用いて、エネルギー汎関数の少なくとも1つの非自明な臨界点の存在を証明すること。
• 汎関数が偶関数である場合に拡張し、対称性の仮定の下で無限に多くの臨界点の存在を証明すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 J(u) = ∑ᵢ∫Ω Ai(x, ui, ∇ui)dx − ∫Ω G(x, u)dx を、X = ∏ᵢ(Xᵢ ∩ L∞(Ω)) に定義し、Xᵢ ⊂ W¹,pi₀(Ω) であるバナッハ空間 X において問題を変分問題として定式化する。
• Ai 及びその偏導関数に関する C¹-カラテオドリ条件と ξ および t に関する成長限界を課すことにより、J が X 上で C¹ であることを確立する。
• X 上の複数のノルムの相互作用を活用して、古典的パラス–スメール条件が成立しない場合に備え、弱セラミ–パラス–スメール条件 (wCPS)β を導入する。
• 文献 [9] の抽象的臨界点理論を適用するため、wCPSβ 条件を満たすことを確認し、G(x, u) における臨界的成長およびアンブロセッティ–ラビノビッツ型条件を用いる。
• 文献 [8] に示された W¹,pi₀(Ω) 空間の「良い」分解を用いて、無限次元設定を扱い、多重性のための (H̺) 仮定を検証する。
• 抽象的臨界点理論の系理 2.4 を適用して、J が偶関数の場合に、発散する臨界レベルの列が存在することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配型準線形楕円型系の関連エネルギー汎関数が、適切なバナッハ空間 X において弱セラミ–パラス–スメール条件を満たすための条件は何か？
• RQ2 臨界的成長およびアンブロセッティ–ラビノビッツ型条件の下で、このような系に対して少なくとも1つの非自明な弱有界解の存在を保証できるか？
• RQ3 エネルギー汎関数が偶関数である場合に、無限に多くの解が存在するための条件は何か？
• RQ4 X 上の異なるノルムの相互作用は、古典的バージョンが失敗する場合に弱セラミ–パラス–スメール条件の検証をどのように可能にするか？
• RQ5 ソボレフ空間の分解は、対称的汎関数の多重性結果を証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• Ai 及びその偏導関数に関する適切な C¹-正則性および成長仮定の下で、エネルギー汎関数 J はバナッハ空間 X = ∏ᵢ(Xᵢ ∩ L∞(Ω)) において C¹ である。ただし Xᵢ ⊂ W¹,pi₀(Ω) である。
• G(x, u) におけるアンブロセッティ–ラビノビッツ型条件および臨界的成長の下で、古典的パラス–スメール条件が成立しない場合であっても、汎関数 J は弱セラミ–パラス–スメール条件 (wCPS)β を満たす。
• G が原点近傍および無限遠点での局所的挙動に関する仮定を満たす場合、J(u∗) ≥ ̺₀ > J(0) = 0 を満たす非自明な臨界点が少なくとも1つ存在する。
• J が偶関数であれば、幾何学的に異なる無限に多くの臨界点が存在し、発散する臨界レベルの列を形成する。
• 有限次元部分空間および X の対称部分空間を用いた (H̺) 条件の使用により、臨界レベルの発散列の存在が確立される。
• 有限次元部分空間におけるノルム同値性および補間不等式を用いた、∫Ω Ai(x, ui, ∇ui)dx および ∫Ω G(x, u)dx の成長の精密な解析に依拠している。