[論文レビュー] Normal Subgroup Growth of Linear Groups: the (G2; F4;E8)-Theorem

Michael Larsen, Alexander Lubotzky|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、線型群において多項式正規部分群成長（PNSG）が成立するのは、Zariski閉包の半単純部が型 $G_2$、$F_4$、または $E_8$ の単純代数群の積である場合に限ることを確立している。主な結果は、これらの型に限ってその単連結被覆の中心が自明であり、それらの $S$-整数部分群が多項式正規部分群成長を示すが、他のすべての型では著しく速い成長、たとえば $n^{\text{log } n}$ や $n^{\text{log } n / (\text{log } \text{log } n)^2}$ が生じることを示している。中心の位数と体の特徴の両方に依存する。

ABSTRACT

Let G be a finitely generated group and M_n(G) the number of its normal subgroup subgroups of index at most n. For linear groups G we show that M_n(G) can grow polynomially in n only if the semisimple part of the Zariski closure of G has simple components only of type G2, F4 or E8 (and in this case indeed this can happened!)

研究の動機と目的

• 有限生成線型群のうち、多項式正規部分群成長（PNSG）を示すものと同定すること。
• Zariski閉包の半単純商に現れる可能性がある、代数閉体上での単純代数群の種類を同定すること。
• 一般にPNSGが余有限群の擬似可解性を意味しないという事実と対照的に、なぜ $G_2$、$F_4$、$E_8$ のみがPNSGを示すのかを説明すること。
• 半単純成分の単連結被覆の中心に基づいて、線型群における正規部分群成長の正確な増加率を確立すること。

提案手法

• 有限生成線型群の特化定理を用いて、問題をグローバル体上の $S$-整数群への還元すること。
• Pinkの強力近似定理を $S$-整数群に適用し、正規部分群成長と正規合同部分群の数え上げを関連させること。
• 群スキームの一般ファイバーの普遍被覆 $\tilde{\mathcal{G}}_\eta$ を用いて、中心 $\mathcal{Z}(\tilde{\mathcal{G}}_\eta)$ 及びその成長率への影響を分析すること。
• $\mathcal{Z}(\tilde{\mathcal{G}}_\eta)$ の位数に特徴 $p$ が整除されるかどうかに基づいて成長タイプを分類すること。
• もし $\mathcal{Z}(\tilde{S}_i) \neq 1$ ならば、正規部分群成長は少なくとも $n^{\log n / (\log \log n)^2}$ 以上であり、$p \mid |\mathcal{Z}(\tilde{S}_i)|$ ならば正確に $n^{\log n}$ であることを証明すること。
• $G_2$、$F_4$、$E_8$ は唯一、単連結形と随伴形が同型である（すなわち、普遍被覆の中心が自明である）ため、それらが特異な役割を果たす理由を説明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの線型群が多項式正規部分群成長（PNSG）を示すか？
• RQ2 なぜPNSG線型群のZariski閉包の半単純商に現れるのは $G_2$、$F_4$、$E_8$ のみなのか？
• RQ3 半単純成分の中心が非自明、または中心の位数が体の特徴で割り切れる線型群の正規部分群成長の正確な増加率は何か？
• RQ4 普遍被覆の中心の構造が、$S$-整数部分群における正規部分群の成長にどのように影響するか？
• RQ5 線型群の正規部分群成長は、その半単純成分の単連結被覆の中心の性質のみによって決定可能か？

主な発見

• 多項式正規部分群成長を示す唯一の線型群は、その半単純部が型 $G_2$、$F_4$、$E_8$ の単純代数群の積であるものである。
• $G_2$、$F_4$、$E_8$ の $S$-整数部分群に対して、正規合同部分群成長は多項式的であり、具体的には $n$ 次の成長を示す。
• 単連結被覆の中心が非自明で $p \nmid |\mathcal{Z}(\tilde{S}_i)|$ である場合、正規部分群成長は $n^{\log n / (\log \log n)^2}$ 以上である。
• $p$ が中心の位数 $|\mathcal{Z}(\tilde{S}_i)|$ を整除する場合、正規部分群成長は正確に $n^{\log n}$ である。
• 結果は鋭い：他のすべての型の単純代数群は、多項式より速い正規部分群成長を示す。
• $G_2$、$F_4$、$E_8$ の特異な役割は、それらの単連結形と随伴形が同型である（すなわち、普遍被覆の中心が自明である）ためである。