[論文レビュー] Normalisation by Evaluation for Type Theory, in Type Theory

Thorsten Altenkirch, Ambrus Kaposi|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Logic, programming, and type systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、商帰納型と証明に関連する論理的述語を用いて、従来の型理論的定式化に基づく正規化による評価（NBE）を依存型理論に対して提示する。この論理的述語は、プレシェーフ意味論と論理的関係を統合する。主な貢献は、正規形および中立形への正規化を介して定義的等価性の決定可能性を構成的に証明することであり、Agdaで形式化されており、完全な型安全性を保証する。

ABSTRACT

We develop normalisation by evaluation (NBE) for dependent types based on presheaf categories. Our construction is formulated in the metalanguage of type theory using quotient inductive types. We use a typed presentation hence there are no preterms or realizers in our construction, and every construction respects the conversion relation. NBE for simple types uses a logical relation between the syntax and the presheaf interpretation. In our construction, we merge the presheaf interpretation and the logical relation into a proof-relevant logical predicate. We prove normalisation, completeness, stability and decidability of definitional equality. Most of the constructions were formalized in Agda.

研究の動機と目的

• 依存型理論の正規化による評価（NBE）の構成を、型理論内で完全に内部化すること。
• プレシェーフ意味論と論理的関係を、一つの証明に関連する論理的述語に統合すること。
• 正規形における双方向的アプローチを用いて、定義的等価性の決定可能性を確立すること。
• 構文を商帰納型を用いて定義し、Agdaで構成全体を形式化すること。
• すべての構成が変換可能性を尊重し、型安全性が常に保たれることを保証すること。

提案手法

• 型の正しい項の構文は、定義的等価性で商をとった商帰納型（QIT）として定義される。
• プレシェーフモデルと論理的関係を統合した証明に関連する論理的述語が、型インデックス付きの族として構成される。
• 正規化は、論理的述語を正規形への関数に持ち上げる基本定理を介して定義される。
• 正規化関数の完全性は、論理的述語の性質と unquote 操作を用いて証明される。
• 等価性の決定可能性は、正規形における等価性の決定可能性を正規化と合成することで導出される。
• 安定性と一貫性は、中立形および正規形の相互帰納法により証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商帰納型を用いて、依存型の型理論的NBEが型理論内で完全に内部化可能か。
• RQ2 プレシェーフモデルと論理的関係を、一つの証明に関連する論理的述語に統合する方法は何か。
• RQ3 NBE構成は、依存型理論における定義的等価性の決定可能性を示唆するか。
• RQ4 型安全性と変換可能性を保ちながら、Agdaでこの構成を形式化可能か。
• RQ5 双方向的アプローチは、等価性の決定可能性を可能にする役割を果たすか。

主な発見

• 正規化関数は完全である：すべての項が元の項と定義的に等価な正規形に写像される。
• 定義的等価性は決定可能である。正規形における等価性が決定可能であり、正規化が完全であるため。
• 構成は安定である：正規形を正規化しても、元の正規形が得られる。
• 論理的述語は証明に関連しており、変換可能性を尊重するため、すべての関数は型安全である。
• Agdaにおける形式化により、構成の正しさが完全な型安全性とともに確認された。
• 中立形および正規形の相互帰納法により、型理論の一貫性が確立され、偽の型に項が属し得ないことが示された。