[論文レビュー] Normalization conventions for Newton's constant and the Planck scale in arbitrary spacetime dimension

Sean P. Robinson|ArXiv.org|Sep 17, 2006

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$d$次元時空におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用の係数 $\mathscr{K}^{-2}$ とニュートン定数 $G_{\rm N}$ の正確な関係を導出し、$\mathscr{K}^2 = 2\frac{d-2}{d-3}\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}$ を示している。物理的に動機づけられた相対論的還元プランクスケール $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ を定義し、幾何的および相対論的効果を同時に反映しており、$d=4$ では標準的還元プランクスケールよりも最大50%小さくなる可能性があり、高次元重力の素粒子物理学的実験的検証に影響を与える。

ABSTRACT

We calculate, in d spacetime dimensions, the relationship between the coefficient 1/K^2 of the Einstein-Hilbert term in the action of general relativity and the coefficient G_N of the force law that results from the Newtonian limit of general relativity. The result is K^2=2[(d-2)/(d-3)]Vol(S^[d-2])G_N, where Vol(S^n) is the volume of the unit n-sphere. While the d=4 case is an elementary calculation in any general relativity text, the arbitrary case presented here is slightly less well known. We discuss the relevance of this result for the definition of the so-called "reduced Planck mass" and comment very briefly on the implications for brane world models. [abstract abridged]

研究の動機と目的

• 任意の時空次元 $d$ におけるニュートン定数 $G_{\rm N}$ とアインシュタイン＝ヒルベルト作用の係数 $\mathscr{K}^{-2}$ を結ぶ正規化規約を明確化すること。
• 高次元重力におけるプランクスケールの定義の曖昧さを解消し、ニュートンポテンシャルの結合と計量摂動の結合を区別すること。
• 線形化計量摂動が物質に与える結合を支配するため、一般相対性理論において物理的に根本的なプランクスケールは $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ であると主張すること。
• $\frac{d-2}{d-3}$ 要因が高次元素粒子物理学における次元解析に与える影響を定量化すること、特にブレーンワールド系において。

提案手法

• 線形化アインシュタイン方程式から $d$ 次元におけるニュートン的加速度場を導出し、計量摂動と物質の結合を支配する係数 $\mathscr{K}^2$ を特定する。
• $d$ 次元におけるガウスの法則を用い、重力線のフラックスを $(d-2)$ 次元球の表面積 $\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2}) = \frac{2\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma((d-1)/2)}$ と関係づけ、$1/r^{d-2}$ 力の法則を導出する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用のニュートン的極限を、物性論的ニュートン的力の法則と比較することで、正確な関係 $\mathscr{K}^2 = 2\frac{d-2}{d-3}\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}$ を導出する。
• 相対論的還元プランクスケール $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ を定義し、$\frac{d-2}{d-3}$ 要因を無視する標準的還元プランクスケール $\hat{M}_{\rm P} = \left[\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}\right]^{1/(2-d)}$ と対比する。
• $4 \leq d \leq 11$ の範囲で $\hat{M}_{\rm R}/M_{\rm P}$ の比を分析し、$d=4$ で $1/2$、$d$ が大きいと1に近づくことから、低次元では顕著だが有界な抑制が生じることを示す。
• 高次元球 $\mathbb{S}^{d-2}$ の体積と $\frac{d-2}{d-3}$ 要因の数値的評価を用い、相対論的補正が現象モデルにおいて無視できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン＝ヒルベルト作用における係数 $\mathscr{K}^{-2}$ は、$d$ 時空次元におけるニュートン定数 $G_{\rm N}$ とどのように関係するか？
• RQ2 なぜ標準的還元プランクスケール $\hat{M}_{\rm P}$ は高次元重力において最も物理的に根本的なスケールではないのか？
• RQ3 $\mathscr{K}^2$ と $G_{\rm N}$ の関係における $\frac{d-2}{d-3}$ 要因の物理的意味は何か？ なぜこの要因はしばしば文献で省略されるのか？
• RQ4 相対論的還元プランクスケール $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ と $\hat{M}_{\rm P}$ はどのように異なるのか？ その差がもたらす現象論的結果は何か？
• RQ5 $\mathscr{K}^2/G_{\rm N}$ の比は、高次元素粒子物理学における直感的次元解析をどの程度破壊するか？

主な発見

• アインシュタイン＝ヒルベルト係数とニュートン定数の正確な関係は $\mathscr{K}^2 = 2\frac{d-2}{d-3}\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}$ であり、これは $d=4$ の場合を任意次元に一般化したものである。
• プランク長さは $\ell_{\rm P} = G_{\rm N}^{1/(d-2)}$、プランク質量は $M_{\rm P} = G_{\rm N}^{1/(2-d)}$ と定義され、標準的規約と整合的である。
• 相対論的還元プランクスケール $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ は、$\mathscr{K}$ が計量摂動と物質の結合を支配するため、$\hat{M}_{\rm P}$ よりも物理的に根本的である。
• $\hat{M}_{\rm R}/M_{\rm P}$ の比は $d=4$ で最大 $1/2$ となり、$d$ が大きくなると1に近づく。これは $\hat{M}_{\rm R}$ が $M_{\rm P}$ より顕著に抑制されているが、有界であることを示している。
• $\frac{d-2}{d-3}$ 要因は、しばしば文献で省略されるが、相対論的効果を反映しており、特に $d=4$ では $\hat{M}_{\rm R}$ が $\hat{M}_{\rm P}$ のちょうど半分になる。
• $4 \leq d \leq 11$ の範囲で、$\hat{M}_{\rm R}/\hat{M}_{\rm P}$ の比は1桁の範囲に収まる。これは、区別が現象論的に重要であるが、次元推定に対して壊滅的ではないことを示唆している。