[論文レビュー] Normalized Fuchsian form on Riemann sphere and differential equations for multiloop integrals

Roman N. Lee, A. A. Pomeransky|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

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ひとこと要約

本稿は、高エネルギー物理学で用いられる$5$-形式に、リーマン球面上での多ループ積分の微分系をグローバル正規化Fuchs型に還元する構成的基準を提示する。有理変換と変数変更を用いて、このような還元が可能かどうかを決定するアルゴリズム的手法を提供し、複数の特異点における固有値条件がグローバル$5$-形式の構成を妨げる場合に、非可約性が生じることを証明する。

ABSTRACT

We consider the question of reducibility of the differential system to normalized Fuchsian form on the Riemann sphere. The differential equations for the multiloop integrals in $\\epsilon$-form constitute a particular example of the normalized Fuchsian form. We formulate the algorithmic criterion of reducibility. We also consider the question of the proper choice of variable in the differential system suitable for its reduction to $\\epsilon$-form.

研究の動機と目的

• 微分系がリーマン球面上でグローバル正規化Fuchs型に還元可能かどうかを構成的に判定する基準を確立すること。
• 多ループ計算における$\u00065$-形式を求める既存のアルゴリズムに、終了基準が欠如している問題に対処すること。
• 特異点における共振や固有値構造が原因で$\u00065$-形式がグローバルに達成不可能となる条件を特定すること。
• グローバル$\u00065$-形式への還元を可能にする適切な有理変数の選択法を体系的に提供すること。
• $\u00065$-形式還元問題を、非$\u00065$の場合を含むより広い正規化Fuchs型のクラスに一般化すること。

提案手法

• 固有値正規化則（例：$0 \leq \Re\lambda < 1$ または $\lambda \propto \epsilon$）を用いて正規化Fuchs型を定義する。
• 変換$J = T\tilde{J}$を用いて、系$\partial_x J = M J$を$\partial_x \tilde{J} = M_T \tilde{J}$に変換し、$M_T = T^{-1}(MT - \partial_x T)$を得る。
• 変換行列$T$に対して分解アルゴリズムを適用し、定数行列式を持つローラン多項式成分に分割可能かどうかを確認する。
• 有理関数や$x = p^2(y)/q(y)$を含む変数変更$y = \phi(x)$を用いて、局所的$\u00065$-形式への試行を超えてグローバル還元可能性を検討する。
• $x=0,1,-1,\infty$に特異点を持つ例に、$M$がグローバルに正規化Fuchs型に変換可能かどうかをテストする。
• $M$と$M_T$が点で正規化されているとき、$T$はその点で正則かつ可逆でなければならないことを利用して、還元可能性の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多ループ積分の微分系が、リーマン球面上で$\u00065$-形式にグローバルに還元可能となる条件は何か？
• RQ2 このような還元が可能かどうかを判定するアルゴリズム的基準は何か。その基準はどのように構成的に計算可能か？
• RQ3 なぜ局所的還元が可能でも、$\u00065$-形式に到達できないシステムが存在するのか。その背後にある構造的特徴は何か？
• RQ4 変数$y$の選択が、グローバル正規化Fuchs型への到達可能性にどのように影響するか？
• RQ5 $\u00065$-形式が達成不可能な場合、非有理変換や一般化された形式を含む変換クラスを拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、微分系が正規化Fuchs型にグローバルに還元可能かどうかを構成的に判定する基準を確立し、還元可能であれば変換行列が計算可能であることを示した。
• 複数の特異点で固有値が$k + 1/2 + \epsilon$の形をとる場合、特に$n > 3$個の特異点が存在する場合、$\u00065$-形式への非可約性が生じる。
• 問題のある特異点が1つだけの場合、$\deg q \leq \deg p$を満たす$x = p^2(y)/q(y)$の形のより広いクラスの変数変更により還元が可能になる可能性がある。
• 特異点が$x = -1, 1, \infty$にある例では、行列が3点で正規化Fuchs型にできるが、$x=0$ではできないため、局所的ではあるがグローバルには還元不可能であることが示された。
• 例2の行列$M$は、分解アルゴリズムが有効な$T$行列（ローラン多項式成分）を発見できないため、$\u00065$-形式にグローバルに還元できない。
• この基準により、グローバル$\u00065$-形式の存在は、リーマン球面上の正則ベクトル束の自明性と同値であることが示され、問題が代数幾何学と結びついた。