[論文レビュー] Normalized intertwining operators and nilpotent elements in the Langlands dual group

Alexander Braverman, David Kazhdan|ArXiv.org|Jun 11, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、局所非アルキメデス的体上の分離的再帰的群において、同一のリーヴィ成分を共有するパラボリック部分群に関連する$L^2$空間間の正規化された相互作用作用素を構成する。ラングランズ双対リーリー代数における主$\\mathfrak{sl}_2$-三重対の作用を用いて、フーリエ変換を一般化する自然なユニタリ同型を定義する。主な貢献は、任意のパラボリック$P$（リーヴィ成分$M$をもつ）に対して$G/[P,P]$上に compact な台を持つ関数を含むシュワーツ空間$\\mathcal{S}(G,M)$の構成であり、関連する$L$-関数が$q^{-s}$に関して有理的であることを証明し、新しい方法により既知の結果を再現する。

ABSTRACT

Let $F$ be a local non-archimedian field and let $G$ be a group of points of a split reductive group over $F$. For a parabolic subgroup $P$ of $G$ we set $X_P=G/[P,P]$. For any two parabolics $P$ and $Q$ with the same Levi component $M$ we construct an explicit unitary isomorphism $L^2(X_P) o L^2(X_Q)$ (which depends on a choice of an additive character of $F$). The formula for the above isomorphism involves the action of the principal nilpotent element in the Langlands dual group of $M$ on the unipotent radicals of the corresponding dual parabolics. We use the above isomorphisms to define a new space $\calS(G,M)$ of functions on $X_P$ (which depends only on $P$ and not on $M$). We explain how this space may be applied in order to reformulate in a slightly more elegant way the construction of $L$-functions associated with the standard representation of a classical group due to Gelbart, Piatetski-Shapiro and Rallis.

研究の動機と目的

• 固定されたリーヴィ成分$M$に関して、ボレルの場合から任意のパラボリック部分群へのフーリエ変換および正規化された相互作用作用素の一般化を達成すること。
• パラボリック$P,Q$が同一のリーヴィ成分$M$を共有するとき、$L^2$空間$L^2(G/[P,P])$と$L^2(G/[Q,Q])$の間の自然な$G \times M^{\text{ab}}$-等変ユニタリ同型$\\mathcal{F}_{P,Q,\psi}$を定義すること。
• すべてのこのような$P$に対して$\mathcal{C}_c(G/[P,P])$を含み、$P$に依存しないシュワーツ空間$\\mathcal{S}(G,M)$を構成し、その球面ベクトルを計算すること。
• 古典的群の標準$L$-関数の有理的性および関数等式を再証明するため、[9]の方法に類似したがより広い設定でのフレームワークを適用すること。

提案手法

• 作用素$\\mathcal{F}_{P,Q,\psi}$の構成は、双対パラボリックのノンアーベル部分代数$\\mathfrak{u}_\mathfrak{p}^\vee$に作用するラングランズ双対リーリー代数$\\mathfrak{m}^\vee$における主$\\mathfrak{sl}_2$-三重対の作用に基づく。
• $\mathcal{F}_{P,Q,\psi}$は加法的特徴$\psi: F \to \mathbb{C}^\times$を用いて定義され、$L^2(G/[P,P])$と$L^2(G/[Q,Q])$上の自然な$G \times M^{\text{ab}}$作用を交換する。
• シュワーツ空間$\\mathcal{S}(G,M)$は、すべてのこのような$P$に対して$\\mathcal{F}_{P,Q,\psi}$を$\\mathcal{C}_c(G/[P,P])$に作用させた像の和として定義され、$L^2$的意味での直和を形成する。
• $\mathcal{F}_{P,\overline{P},\psi}$は$G = \mathrm{GL}(n)$の場合に標準的なフーリエ変換に一致し、$M_n$上で$\mathcal{F}(f)(x) = \int_{M_n} f(y) \psi(\operatorname{tr}(xy)) \, dy$で与えられる。この変換はシンプレクティックおよび直交的構造を用いて他の古典的群へ拡張される。
• $L$-関数$L(\pi,s)$は、$\mathbb{C}[q^{-s}]$の分数イデアルに関連するゼータ積分$Z(f,m,s)$の生成元として定義され、$q^{-s}$に関して有理的であることが示される。
• グローバル$L$-関数の関数等式は、一般化されたパーソンの和公式から導かれ、フーリエ作用素$\mathcal{F}_{H,\psi}$の双対性が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一のリーヴィ成分を共有する異なるパラボリック部分群に関連する$L^2$空間間の正規化された相互作用作用素を、体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 ラングランズ双対リーリー代数における主$\\mathfrak{sl}_2$-三重対が、これらの作用素を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ3 すべてのリーヴィ成分$M$をもつパラボリック$P$に対して$G/[P,P]$上に台がコンパクトな関数を含み、$P$に依存しない自然なシュワーツ空間$\\mathcal{S}(G,M)$を定義できるか。
• RQ4 ゼータ積分$Z(f,m,s)$の解析的性質は何か。また、標準$L$-関数とどのような関係にあるか。
• RQ5 シュワーツ空間$\mathcal{S}(H)$上の一般化されたフーリエ変換$\mathcal{F}_{H,\psi}$は、$L$-関数のグローバル関数等式を導く関係を持つ関数等式を満たすか。

主な発見

• 正規化された相互作用作用素$\mathcal{F}_{P,Q,\psi}$は、$L^2(G/[P,P])$と$L^2(G/[Q,Q])$の間の自然なユニタリ同型であり、$G \times M^{\text{ab}}$-等変かつ$\mathcal{F}_{P,P,\psi} = \text{id}$および$\mathcal{F}_{Q,R,\psi} \circ \mathcal{F}_{P,Q,\psi} = \mathcal{F}_{P,R,\psi}$を満たす。
• $G = \mathrm{GL}(n)$の場合、$\mathcal{F}_{P,\overline{P},\psi}$は$M_n$上の標準的フーリエ変換$\mathcal{F}(f)(x) = \int_{M_n} f(y) \psi(\operatorname{tr}(xy)) \, dy$に一致し、古典的ケースを一般化する。
• シュワーツ空間$\mathcal{S}(G,M)$は、すべてのリーヴィ成分$M$をもつパラボリック$P$に対して$\\mathcal{F}_{P,Q,\psi}(\mathcal{C}_c(G/[P,P}))$の和として定義され、$P$の選択に依存しない局所定数関数からなる。
• ゼータ積分$Z(f,m,s) = \int_H m(h) f(h) |\sigma(h)|^s \, dh$は、$\operatorname{Re}(s) \gg 0$で絶対収束し、$\mathbb{C}$上に$q^{-s}$に関する有理関数としての解析接続を持つ。
• このようなゼータ積分のイデアル$J_\pi$は$1/P_\pi(q^{-s})$によって生成され、$L(\pi,s) = 1/P_\pi(q^{-s})$とおくことで、古典的群の自動形式表現の標準$L$-関数が再現される。
• グローバル$L$-関数の関数等式は一般化されたパーソンの和公式から導かれ、作用素$\mathcal{F}_{H,\psi}$は$\mathcal{F}_{H,\psi}^{-1} = \mathcal{F}_{H,\psi^{-1}}$を満たし、双対性が保証される。