[論文レビュー] Not So Easy Problems for Tree Decomposable Graphs

Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、有界木幅をもつ辺重み付きグラフにおける最大重み付き出次数を最小化する問題が W[1]-hard であることを確立している。これは、固定された木幅を持つグラフに対しても、木幅に依存しない多項式時間アルゴリズムが存在する可能性が低いことを示している。この結果は、分割クリーク問題からの fpt-還元を用いて示され、有界木幅グラフでは多項式時間で解けるが、FPT クラスに属さない問題が存在することを示している。

ABSTRACT

We consider combinatorial problems that can be solved in polynomial time for graphs of bounded treewidth but where the order of the polynomial that bounds the running time is expected to depend on the treewidth bound. First we review some recent results for problems regarding list and equitable colorings, general factors, and generalized satisfiability. Second we establish a new hardness result for the problem of minimizing the maximum weighted outdegree for orientations of edge-weighted graphs of bounded treewidth.

研究の動機と目的

• 有界木幅グラフにおいて、自明に簡単でもなく NP-困難でもない問題を同定すること。
• 有界木幅に対して多項式時間で解けるが、その多項式の次数が木幅に依存する問題を調査すること。
• このような問題が固定パrameter可 tractable（FPT）である可能性が低いという理論的証拠を提供すること。
• 有界木幅の辺重み付きグラフにおける最小最大重み付き出次数向き付け問題に対して、新たな W[1]-hard 性の結果を確立すること。

提案手法

• 既に W[1]-hard であることが知られている分割クリーク問題から、最小最大出次数問題への還元を構築する。
• k-部グラフ G からの変数および節のガジェットをモデル化する頂点と辺をもつ重み付きグラフ H を定義する。
• 辺の重みと頂点の要件（ρ値）を割り当て、ρ-適応的向き付けが G におけるクリークに対応するようにする。
• 向き付けにおける構造的制約を用いて、各部集合からたかだか1つの変数が選択されること、かつ選択された変数がクリークを形成することを保証する。
• H に ρ-適応的向き付けが存在するための必要十分条件が、G に k-クリークが存在することであることを証明する。
• 分割クリーク問題から最小最大出次数問題への fpt-還元を確立し、fpt-還元における W[1]-hard 性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界木幅グラフに対して多項式時間で解ける問題が、木幅に依存する多項式次数を持つ場合、それでも W[1]-hard である可能性はあるか？
• RQ2 有界木幅グラフに対して最小最大重み付き出次数向き付け問題は固定パラメータ可 tractable か？
• RQ3 分割クリーク問題を fpt-還元によって最小最大出次数向き付け問題に還元できるか？
• RQ4 有界木幅の設定において、辺重み付きグラフのどのような構造的制約がクリーク選択を強制するか？
• RQ5 多項式時間の上限が木幅に依存することは、パラメータ化された意味で不計算可能性を意味するか？

主な発見

• 辺重み付きグラフにおける最小最大出次数問題は、木幅をパラメータとした場合に W[1]-hard である。
• 固定された木幅に対しても問題は W[1]-hard のままであり、FPT = W[1] でない限り、FPT アルゴリズムは存在しない。
• 構築されたグラフ H に ρ-適応的向き付けが存在するための必要十分条件は、元のグラフ G に k-クリークが存在することである。
• 還元はパラメータ化された複雑さを保ち、分割クリーク問題から最小最大出次数問題への fpt-還元を確立している。
• 構築されたグラフ H の木幅は k の関数によって有界であり、パラメータ化された設定において還元が有効であることを保証している。
• この結果は、有界木幅に対して多項式時間で解ける問題の中には、多項式の次数が木幅に依存するがゆえに、本質的にパラメータ化された不計算可能性を示すものである。