[論文レビュー] Note on a Cohomological Theory of Contact-Instanton and Invariants of Contact Structures

Yiwen Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、5次元接触多様体上の接触インスタントンに対するコhomological field theoryを提案し、BRST観測量が基礎となる接触幾何の不変量をもたらすことを示している。接触インスタントンのモジュライ空間次元と、標準的ディラック＝コーン作用素の等長的インデックスとの間の関係を確立し、K接触多様体の場合には積分公式を導出し、5次元 $\mathcal{N}=1$ 超ヤン・ミルズ理論および接触ホモロジーとウィルソンループを通じて接続している。

ABSTRACT

In the localization of 5-dimensional N = 1 super-Yang-Mills, contact-instantons arise as non-perturbative contributions. In this note, we revisit such configurations and discuss their generalizations. We propose for contact-instantons a cohomological theory whose BRST observables are invariants of the background contact geometry. To make the formalism more concrete, we study the moduli problem of contact- instanton, and we find that it is closely related to the eqiuivariant index of a canonical Dirac-Kohn operator associated to the geometry. An integral formula is given when the geometry is K-contact. We also discuss the relation to 5d N = 1 super-Yang- Mills, and by studying a contact-instanton solution canonical to the background geometry, we discuss a possible connection between N = 1 theory and contact homology. We also uplift the 5d theory a 6d cohomological theory which localizes to Donaldson-Uhlenbeck-Yau instantons when placed on special geometry.

研究の動機と目的

• 接触構造の不変量であるBRST観測量を持つコhomological field theoryを構築すること。
• 接触インスタントンのモジュライ空間を研究し、その次元を標準的ディラック＝コーン作用素の等長的インデックスに関連付けること。
• ウィルソンループおよび線形化されたリターン写像を通じて、5次元 $\nmathcal{N}=1$ 超ヤン・ミルズ理論と接触ホモロジーを結びつけること。
• 5次元理論を6次元コhomological理論にアップライドし、背景がカーラビ＝ヤウ3-foldであるとき、ドナルドソン＝ウーレンバック＝ヤウインスタントンに局在化することを確立すること。

提案手法

• BRSTcharge $Q$ を持つコhomological field theoryを構築し、$\pi_V F_A = 0$, $\pi_H^+ F_A = \lambda \phi d\kappa$, および $d_A \phi = 0$ を満たす接触インスタントン配置に局在化するようにすること。
• 接触計量多様体上の一般化されたタナカ＝ウェブスター接続を用いて、標準的 $\mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ 構造と関連するディラック＝コーン作用素を定義すること。
• 等長的インデックス定理を適用して、K接触多様体における接触インスタントンモジュライ空間 $\mathcal{M}_\lambda$ の次元を計算すること。
• 標準的 $\mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ バンド上のディラック作用素の等長的インデックスを用いて、$\dim \mathcal{M}_\lambda$ の積分公式を導出すること。
• Sasaki-Einstein多様体上で、トゥイストされた $\mathcal{N}=1$ 理論の局在化を捉える標準的接触インスタントン解を同定すること。
• 5次元理論におけるウィルソンループ $W(\gamma)$ が接触ホモロジーにおける線形化されたリターン写像 $\Psi_\gamma$ と一致することを示し、接触ホモロジー不変量の物理的実現を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BRST観測量が背景の接触幾何の不変量であるようなコhomological field theoryを構築できるか？
• RQ2 接触インスタントンモジュライ空間の次元は、基礎多様体の幾何的不変量とどのように関係しているか？
• RQ3 K接触多様体におけるモジュライ空間次元の計算において、標準的ディラック＝コーン作用素は果たす役割は何か？
• RQ4 Sasaki-Einstein多様体上の5次元 $\mathcal{N}=1$ 超ヤン・ミルズ理論は、接触ホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ5 5次元理論を、背景幾何がカーラビ＝ヤウ3-foldであるとき、ドナルドソン＝ウーレンバック＝ヤウインスタントンに局在化する6次元コhomological理論にアップライドできるか？

主な発見

• 提案されたコhomological理論のBRST観測量は、背景の接触構造の不変量であり、幾何的不変量の物理的実現を提供する。
• K接触多様体において、接触インスタントンモジュライ空間 $\mathcal{M}_\lambda$ の次元は、標準的 $\mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ バンド上のディラック＝コーン作用素の等長的インデックスによって計算される。
• 等長的インデックス定理を用いて、$\dim \mathcal{M}_\lambda$ の積分公式が導出され、位相的不変量とゲージ理論的データが結びつけられる。
• Sasaki-Einstein多様体上では、標準的接触インスタントン解が存在し、トゥイストされた $\mathcal{N}=1$ 理論はこの配置に局在化する。
• 5次元理論におけるウィルソンループ $W(\gamma)$ は、接触ホモロジーにおける線形化されたリターン写像 $\Psi_\gamma$ と一致し、接触ホモロジー不変量との直接的な物理的接続を確立する。
• 5次元理論は、背景幾何がカーラビ＝ヤウ3-foldであるとき、ドナルドソン＝ウーレンバック＝ヤウインスタントンに局在化する6次元コhomological理論にアップライドされる。