[論文レビュー] Note on non-entangling measurements

Paul Busch|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、二粒子量子系における非エンタングルリングユニタリ測定を特徴づけ、任意のPOVMがこのような写像によって実現可能であることを証明する。ユニタリUが状態ϕ⊗φ₀に作用する場合、それはH₁上での等長写像により系状態をずらすか、H₁からH₂への等長写像により系の情報をアーカイブに転送するかのいずれかであることが示され、その主要結果は、このような非エンタングルリングユニタリの完全な分類が得られることである。

ABSTRACT

The general form of non-entangling unitary maps for measurement schemes is determined. It is shown that any POVM admits a non-entangling measurement. We prove the following. Proposition 1 Let H1, H2 be complex separable Hilbert spaces, φ0 a unit vector in H2. Assume U: H1 ⊗ H2 → H1 ⊗ H2 is a unitary map such that for all ϕ ∈ H1, U(ϕ ⊗ φ0) = ϕ ′ ⊗ φ ′ for some unit vectors ϕ ′ ∈ H1, φ ′ ∈ H2. Then U acts in one of the following two ways: (1) U(ϕ ⊗ φ0) = V1(ϕ) ⊗ φ ′ , where V1 is an isometry in H1 and φ ′ is a fixed unit vector in H2; (2) U(ϕ ⊗ φ0) = ϕ ′ ⊗ W12ϕ, where W12 is an isometry from H1 to H2 and ϕ ′ is a fixed unit vector in H1. Proof. Let {ϕn}n∈N be an orthonormal basis of H1. There are systems of unit vectors ϕ ′ n ∈ H1, φ ′ n ∈ H2 such that Uϕn ⊗ φ0 = ϕ ′ n ⊗ φ ′ n. Due to the unitarity are mutually orthogonal. We show that one of two of U, all the vectors ϕ ′ n ⊗φ ′ n cases (a), (b) must hold: (a) {ϕ ′ n}n∈N is an orthonormal system, all φ ′ n are parallel to φ ′ 1; (b) {φ ′ n}n∈N is an orthonormal system, all ϕ ′ n are parallel to ϕ ′ 1. For two unit vectors ψ, ξ which are mutually orthogonal, 〈ψ|ξ 〉 = 0, we will write ψ ⊥ ξ. From ϕ1 ⊥ ϕ2, it follows that either ϕ ′ 1 ⊥ ϕ ′ 2 or φ ′ 1 ⊥ φ ′ 2. Consider the first case. Then

研究の動機と目的

• 測定中に系と補助系をエンタングルさせないユニタリ写像の構造を特徴づけること。
• ユニタリ変換が固定された補助状態を持つ積状態に作用する場合、分離性を保つ条件を特定すること。
• 二粒子ヒルベルト空間における非エンタングルリングユニタリ写像のすべての可能な形を分類すること。
• 任意の正の作用素値測定（POVM）に対して非エンタングルリング実装が存在することを確立すること。

提案手法

• H₁における正規直交基底{ϕₙ}を用いて、ユニタリUがϕₙ⊗φ₀に作用する様子を分析する。
• U(ϕₙ⊗φ₀)をϕ′ₙ⊗φ′ₙに分解し、ϕ′ₙ ∈ H₁およびφ′ₙ ∈ H₂が単位ベクトルであることを仮定する。
• ユニタリ性を適用して、ベクトルϕ′ₙ⊗φ′ₙが互いに直交することを保証する。
• 直交性条件の分析：ϕ₁⊥ϕ₂ならば、ϕ′₁⊥ϕ′₂またはφ′₁⊥φ′₂のいずれかが成り立つ。
• {ϕ′ₙ} または {φ′ₙ} が正規直交系をなすかどうかに基づく場合分け。
• 二つの標準形の導出：(1) UがH₁上で等長写像を作用させつつ補助状態を固定する場合、(2) UがH₁からH₂への等長写像により系状態を補助に転送する場合。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された補助状態を持つ積状態に作用するユニタリ変換で、分離性を保つ可能性のある変換は何か？
• RQ2 すべてのPOVMが非エンタングルリングユニタリ測定方式によって実装可能か？
• RQ3 ユニタリ写像が積状態に作用する場合、出力状態が分離的になる条件は何か？
• RQ4 ユニタリ写像が積状態を積状態に写像する場合に生じる構造的制約は何か？

主な発見

• 非エンタングルリング条件を満たす任意のユニタリ写像Uは、二つの標準形のいずれかに属する：(1) H₁上での等長写像を作用させつつ補助状態を固定する場合、(2) H₁からH₂への等長写像により系状態を補助に転送する場合。
• 画像状態ϕ′ₙが直交している場合、系状態はH₁上での等長写像による変形を除き、保存される。このとき補助状態は固定されている。
• 画像状態φ′ₙが直交している場合、系状態はH₁内の固定された状態に写像され、補助状態がH₁からH₂への等長写像により情報を持ち継ぐ。
• 分類はすべての分離的ヒルベルト空間に適用可能であり、量子測定フレームワーク全体に一般化可能である。
• この結果により、すべてのPOVMが非エンタングルリング測定実装を有することが確認された。このようなユニタリは、エンタングルメントを生じさせることなく、任意のPOVMの結果分布をシミュレート可能である。