[論文レビュー] Note on the paper of Fu and Wong on strictly pseudoconvex domains with Kähler--Einstein Bergman metrics

Stefan Nemirovski, Rasul Shafikov|ArXiv.org|May 28, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Kähler–Einstein Bergman計量を備えた滑らかに有界な厳密に擬凸な領域が単位球にbiholomorphicであるというCheng予想が、Ramadanov予想から導かれるということを証明している。先行研究における均質化結果を用いて、Bergman核展開における対数項が無限回の高さで消える（Kähler–Einstein条件によって示唆される）ならば、境界は球面的であることが示され、結果として球にbiholomorphicであることが導かれる。この結果は一般に成立し、次元2でも確認されている。

ABSTRACT

It is shown that the Ramadanov conjecture implies the Cheng conjecture. In particular it follows that the Cheng conjecture holds in dimension two.

研究の動機と目的

• 複素幾何における2つの主要な予想、すなわちRamadanov予想とCheng予想の間の論理的含意関係を確立すること。
• FuとWongが提起した、Cheng予想の一般ケース（単連結でない領域）に関する未解決問題を解消すること。
• Bergman計量のKähler–Einstein性質が、Ramadanov予想を介して境界の球面的幾何をもたらすという幾何的帰結を示すこと。
• 次元2における既知のRamadanov予想の結果を用いて、Cheng予想を次元2で確認すること。

提案手法

• 厳密に擬凸な領域におけるBergman核関数の漸近展開を用い、特に定義関数ρと対数項ψを含む分解を特定する。
• FuとWongの結果を適用し、Kähler–Einstein Bergman計量は境界でψ = O(ρ^∞)を満たすことを示す。
• 先行研究（NemirovskiとShafikov）における均質化定理に依拠し、境界が球面的である領域は単位球に被覆されることを述べる。
• 有界領域における完全Kähler–Einstein計量の一意性（Cheng–Yau）を用いて、Bergman計量と商計量との比例関係を示す。
• Lu Qi-Kengの定理を適用し、定数の全純断面曲率をもつ完全Bergman計量は、単位球にbiholomorphicであることを述べる。
• これらの結果を統合し、Kähler–Einstein条件のもとで領域が球にbiholomorphicであることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に擬凸な領域におけるBergman計量のKähler–Einstein性質は、その領域が単位球にbiholomorphicであることを示唆するか？
• RQ2 Cheng予想はRamadanov予想から導けるか？
• RQ3 Bergman核展開における対数項ψが境界で無限回の高さで消えるという条件の幾何的帰結は何か？
• RQ4 境界が球面的である場合の均質化結果は、単連結でない領域へも拡張可能か？
• RQ5 完全Kähler–Einstein計量の一意性は、定数曲率に至り、したがって球へのbiholomorphismを結論づけるのに十分か？

主な発見

• ℂⁿにおけるCheng予想は、Ramadanov予想から論理的に導かれる。
• Bergman核展開における対数項ψが境界で無限回の高さで消えるという条件は、境界が球面的であることを示唆する。
• Kähler–Einstein Bergman計量を備えた厳密に擬凸な領域は、均質化により単位球に被覆される。
• このような領域におけるBergman計量は、球の商計量に比例するため、定数の全純断面曲率を持つ。
• Lu Qi-Kengの定理により、その領域は単位球にbiholomorphicである。
• Cheng予想は次元2で確認された。なぜなら、その次元ではRamadanov予想が既に知られているからである。