[論文レビュー] Note on transformation to general curvilinear coordinates for Maxwell's curl equations

Dzmitry M. Shyroki|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2003

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般の曲線座標系（非直交）におけるマクスウェルの回転方程式を再定式化することで、標準的な直交格子上で高精度な有限差分時間領域（FDTD）シミュレーションを可能にする修正手法を提案する。この手法は、誘電率および透磁率テンソルを再定義することで、幾何的要因を吸収し、従来の物理的不一致を解消する。主な貢献は、複雑な幾何形状の電磁界モデリングにおいて精度を損なう要因となっていた、従来の場の変換則の物理的不整合を解消することにある。

ABSTRACT

Maxwell's curl equations are formulated in curvilinear non-orthogonal coordinates in three dimensions in a manner that enables to preserve conventional Cartesian mesh for the finite-difference schemes by means of mere redefinition of the permittivity and permeability coefficients. It is highlighted that in the previous works on this subject [Ward and Pendry 1996 J. Modern Opt. 43 773; 1998 Phys. Rev. B 58 7252] inaccurate transformation to curvilinear coordinates, rooted in questionable transformation laws assigned to electric and magnetic field vectors, led to physical dubiety of the final formulae. In this note the amended equations are presented, capable of being easily adopted for the accurate finite-difference time-domain (FDTD) modelling of electromagnetic propagation and scattering problems in complicated geometries within the existing computational codes.

研究の動機と目的

• 従来の曲線座標系へのマクスウェル方程式の変換に起因する物理的不整合を解消すること。
• 過去の研究で不適切に適用された場の変換則が引き起こす不正確さを是正すること。
• 既存の直交格子用計算コードをそのまま利用して、複雑な幾何形状における電磁波の伝播および散乱を高精度にFDTDでシミュレートできることを実現すること。
• 非直交曲線座標系を正確にモデル化しつつ、直交格子用の有限差分ステンシルの単純さを維持すること。
• 任意の幾何形状における電磁界モデリングのための数学的に整合的で、計算的に実用的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 電場および磁場ベクトルの修正された変換を用いて、3次元の一般曲線座標系におけるマクスウェルの回転方程式を再定式化する。
• 幾何的効果を吸収するために誘電率および透磁率テンソルを再定義し、標準的な直交格子用有限差分ステンシルを維持する。
• 従来の手法とは異なり、電場および磁場の両方に一貫性のある変換則を適用し、物理的不整合を回避する。
• 元のFDTDアルゴリズムと互換性を持たせ、メッシュ再構築を必要としない。
• 座標変換下での正しい物理的挙動を維持するように、修正された物性関係を導出する。
• 標準的なFDTD時間ステッピングスキームおよび境界条件との整合性を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の曲線座標系におけるマクスウェル方程式の変換に用いられた場の変換則に、どのような物理的不整合が存在するか？
• RQ2 元の直交格子のまま、一般の曲線座標系におけるマクスウェル方程式をどのように再定式化できるか？
• RQ3 非直交座標系において精度を保つために、誘電率および透磁率テンソルにどのような修正が必要か？
• RQ4 任意の曲線座標系において、一貫性があり物理的に妥当な電磁界変換を達成できるか？
• RQ5 この修正手法を用いることで、既存のFDTDコードをどれほど再利用できるか？

主な発見

• 本稿は、Ward よりも Pendry らの先行研究が電場および磁場の変換則に欠陥を有しており、その結果として方程式に物理的不整合が生じていたことを特定した。
• 修正された定式化により、変換後のマクスウェル方程式が曲線座標系における電磁気学理論と物理的に整合的で妥当なままであることが保証された。
• 誘電率および透磁率テンソルを再定義することで、メッシュの変形なしに標準的な直交格子上で高精度なFDTDシミュレーションが可能になった。
• 既存のFDTDソフトウェアを最小限の修正で用いて、複雑な幾何形状における電磁波の伝播および散乱をモデル化できるようになった。
• この定式化は、標準的なFDTD時間領域ソルバーと互換性があり、構造化された直交格子上で数値的安定性と精度を維持する。
• 非構造格子やボディフレンド・メッシュを用いる場合に比べ、計算負荷が著しく低い状態で、任意の幾何形状における電磁現象のシミュレーションが可能となる実用的経路を提供する。