[論文レビュー] Notes on completely reducible subcomplexes of spherical buildings

Linus Kramer|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、球面的ビルディング内の完全に可約な部分複体を調査し、それらが球面的ビルディングと球面の積として等長的に同一視可能であり、自明な因子とコックスター複体に分解されることを確立している。主な結果は、任意の完全に可約な部分複体が、球面的ビルディングと複数の $\SS^0$ の積のメトリック実現として生じることを示しており、弱い球面的ビルディングにおけるScharlauの還元定理を一般化するものである。

ABSTRACT

A completely reducible subcomplex of a spherical building is a spherical building.

研究の動機と目的

• 球面的ビルディング内の完全に可約な部分複体の構造を特定すること。
• 球面的ビルディングの凸部分複体が自身で球面的ビルディングである条件を特定すること。
• 弱い球面的ビルディングにおけるScharlauの還元定理を完全に可約な部分複体の文脈に一般化すること。
• 対称な単体、レヴィ球面、特異的な大円を含む球面が、このような部分複体の分解における果たす役割を分析すること。

提案手法

• CAT(1)幾何学と球面的コックスター複体における凸性を用いて、測地線の一意性および凸包の性質を有する部分複体を分析する。
• スパンと測地線の延長の概念を適用し、次元 $m$ の凸部分複体が $m$-球面に含まれ、かつ純粋なチャンバ複体であることを示す。
• レヴィ球面を単体を含む最大の球面として定義し、特異的大円と反射群を用いてその構造を研究する。
• 特異的 $m-1$-単体を避けるパスを用いて単体の t 同値関係を定義し、これにより t-類と基本領域を定義する。
• 共通の単体または点を共有するレヴィ球面間の等長写像を構成し、特異構造とコックスター群作用の不変性を示す。
• 特異的大円に沿ったメトリック反射を用いてレヴィ球面に対して「手術」を施し、新たなレヴィ球面を構成するとともに、コックスター群構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面的ビルディングの凸部分複体が自身で球面的ビルディングである条件は何か？
• RQ2 部分複体内に単体 $a$ が存在し、$A$ 内にその対称単体が存在しない場合、完全に可約性がどのように保証されるか？
• RQ3 レヴィ球面と特異的大円が完全に可約な部分複体のグローバル構造にどのように寄与するか？
• RQ4 コックスター群と基本領域は、完全に可約な部分複体の分解において果たす役割は何か？

主な発見

• 球面的ビルディングの凸部分複体 $A$ が、その幾何的実現が凸であり、次元 $m \geq 1$ であるならば、それは純粋なチャンバ複体である。
• 部分複体 $A$ が単体 $a$ を含み、$A$ 内に $a$ の対称単体が存在しない場合、$|A|$ は $a$ の内部への測地線リトラクションにより可縮である。
• 部分複体 $A$ のすべての $m$-単体が対称単体を持つならば、$A$ の任意の次元の単体に対しても対称単体が存在し、$A$ は完全に可約である。
• 完全に可約な部分複体内の任意の単体の対は、共通のレヴィ球面に含まれる。このレヴィ球面は次元 $m$ の球面的ビルディングである。
• レヴィ球面内の特異的大円は、反射に関して閉じた有限系をなし、関連するコックスター群 $W_S$ の作用は部分複体の構造を保存する。
• 任意の完全に可約な部分複体 $A$ は、$Z * \SS^0 * \cdots * \SS^0$ のメトリック実現と等長である。ここで $Z$ は厚い球面的ビルディングである。これはScharlauの還元定理を一般化する。