[論文レビュー] Notes on data-driven output-feedback control of linear MIMO systems

Mohammad Alsalti, Victor G. Lopez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2023

Control Systems and Identification被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、MIMO線形時不変（LTI）システムに対するデータ駆動型出力フィードバック制御の課題に取り組み、入出力データから直接構成される代替の非最小状態ベクトルを提案する。データに基づくアプローチにより状態を再定義することで、安定化制御器設計に必要な重要なランク条件を満たし、MIMOシステムにおける出力フィードバック問題に、状態フィードバック制御手法を直接適用可能にする。

ABSTRACT

Recent works have approached the data-driven design of dynamic output-feedback controllers for discrete-time LTI systems by constructing non-minimal state vectors composed of past inputs and outputs. Depending on the system's complexity (order $n$, lag $\ell$ and number of outputs $p$), it was observed in several works that such an approach presents significant limitations. In particular, many works require to restrict the class of LTI systems to those satisfying the relation $p\ell=n$. In this note, we show how to address the general MIMO case (for which $p\ell\geq n$ in general) by constructing an alternative non-minimal state vector from data. Different from the existing literature, our method guarantees the satisfaction of certain rank conditions when the system is persistently excited, thereby facilitating the direct data-driven dynamic output-feedback control of MIMO systems by applying methods that were originally developed for the input-state data setting.

研究の動機と目的

• 既存のMIMO LTIシステムに対するデータ駆動型出力フィードバック制御手法の限界を特定・明確化すること。特に、過去の入力と出力から構成される標準的な非最小状態を用いる場合、重要なランク条件が満たされない問題に焦点を当てる。
• 標準的な非最小状態の構築方法が、MIMOシステムにおいてランク不足のデータ行列を生じさせることにより、安定化制御器の設計が不成立になる問題を解消すること。
• 入出力データから直接導出される代替の非最小状態ベクトルを提案し、制御器設計に必要なランク条件を保証すること。
• この新しいデータベースの状態表現を用いることで、安定化、最適、またはロバスト制御のための既存のデータ駆動型状態フィードバック制御手法を、出力フィードバック問題に直接適用可能にする。
• 従来の文献で要求されていた制限的な $ p\ell = n $ 条件を超えて、データ駆動型制御手法の適用範囲を一般のMIMOシステムに拡張すること。

提案手法

• 非最小状態ベクトル $ z_t = \begin{bmatrix} u_{[t-\ell,t-1]} \\ \overline{\Theta} y_{[t-\ell,t-1]} \end{bmatrix} $ を構築する。ここで $ \overline{\Theta} $ は、特異値分解とランクを保つ変換を用いてデータ行列から導出される。
• 持続的に励起される入出力トレースを用いて、入出力トレース空間を張るデータ行列 $ H $ を構築し、構造的性質が保たれるようにする。
• ノイズを含むデータ行列に特異値分解（SVD）を適用し、ノイズのないデータ行列の低ランク近似 $ \widehat{H} $ を回復する。$ m(\ell+1) + n $ 個の最大特異値を保持することで、必要なランクを維持する。
• SVDの成分を分割して、過去の出力を高次元状態空間に写像する変換行列 $ \overline{\Theta} $ を抽出する。これにより線形独立性とランクの保持が保証される。
• 新しい非最小状態 $ z_t $ を用いて制御器設計を定式化し、[5, 6, 8, 9] で示されたような既存のデータ駆動型状態フィードバック制御手法を、出力フィードバック用途に直接適用可能にする。
• 得られたデータ行列が制御器の可解性と安定性保証に不可欠なランク条件 $ \text{rank}(H) = m(\ell+1) + n $ を満たすように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、過去の入力と出力に基づく標準的な非最小状態の構築方法が、MIMO LTIシステムにおいて必要なランク条件を満たさないのか？
• RQ2 MIMOシステムに内在するどのような構造的性質が、従来のデータベース状態ベクトルを用いる場合にランク条件が破綻する原因となるのか？
• RQ3 入出力データから、制御器設計に必要なランク条件を満たす代替の非最小状態ベクトルを構築可能か？
• RQ4 ノイズを含むデータをどのように処理すれば、データ駆動型出力フィードバック制御における必要なランク構造を維持できるか？
• RQ5 既存のデータ駆動型状態フィードバック制御手法を、提案された非最小状態を用いて出力フィードバック制御にどの程度適応可能にすることができるか？

主な発見

• 過去の入力と出力に基づく標準的な非最小状態の構築方法は、MIMOシステムでは特に $ p\ell > n $ の場合に、必要なランク条件 $ \text{rank}(H) = m(\ell+1) + n $ を満たせず、制御器設計が曖昧になる。
• 提案された代替非最小状態ベクトルにより、制御器設計に用いるデータ行列が、全ランク $ m(\ell+1) + n $ を達成することが保証され、安定化制御器合成に必要な条件を満たす。
• ノイズを含むデータに対してSVDベースの近似を適用することで、ランク $ m(\ell+1) + n $ の低ランク推定値 $ \widehat{H} $ を回復でき、測定ノイズに対してロバストでありながら設計の可能性を維持する。
• $ \overline{\Theta} $ のデータ行列からの構築により、過去の出力を線形独立性を保ちながら高次元状態空間に写像する有効な変換が可能となり、制御器設計を支援する。
• 本手法により、最適制御やロバスト制御のための既存のデータ駆動型状態フィードバック制御手法を、システム同定を明示的に行わずに、出力フィードバック問題に直接適用可能になる。
• 本手法は、従来の文献で要求されていた制限的な $ p\ell = n $ 条件を克服し、$ p\ell \geq n $ を満たす一般のMIMOシステムへの適用範囲を拡張する。