[論文レビュー] Notes on enriched categories with colimits of some class

G. M. Kelly, Vincent Schmitt|ArXiv.org|Jan 22, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、重み付き極限と余極限を用いて、特定のクラスのコロジットを有する拡張カテゴリを調査し、$Φ^+$ および $Φ^-$ と呼ばれる重みのクラスを導入する。これらの重みの余極限または極限が $Φ$-重み付き極限と可換になる。このクラスが飽和していることを証明し、$\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ における小さな射影的対象と $\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ との間の同型を確立する。これは、Isbell双対性を一般化し、拡張カテゴリ理論におけるコーシー完備化の理論を豊かにする。

ABSTRACT

Given a class Phi of weights, we study the following classes: Phi^+ of Phi-flat weights which are the psi for which psi-colimits commute in the base V with limits with weights in Phi; and Phi^-, dually defined, of weights psi for which psi-limits commute in the base V with colimits with weights in Phi. We show that both these classes are saturated (i.e. closed under the terminology of Albert-Kelly or Betti's coverings). We prove that for the class P of all weights P^+ = P^-. For any small B, we defined an enriched adjunction a` la Isbell [B,V]^op -> [B^op,V] and show how it restricts to an equivalence (P^-(B^op))^op ~ P^-(B) between subcategories of small projectives.

研究の動機と目的

• 有限性やフィルター性ではなく、重みのクラスに注目することで、拡張カテゴリにおける可達性および余極限の性質に関する結果を一般化すること。
• ベースカテゴリ $\mathcal{V}$ における重み付き余極限と極限の可換性、特に $\Phi^+$ および $\Phi^-$ のクラスについて研究すること。
• $\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ および $\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ の間の小さな射影的対象の双対性を、拡張された Isbell 隣接関手によって確立すること。
• $\mathcal{P}^{-}$ が小さな射影的対象のクラスであり、$\mathcal{P}^+$ が $\mathcal{P}$-平坦重みのクラスであるという役割を明確にすること。

提案手法

• 重み $\psi$ が $\mathcal{V}$ において $\Phi$-重み付き極限と可換な $\psi$-余極限を持つとき、$\Phi$-平坦重みとみなされるクラス $\Phi^+$ を導入する。$\Phi^-$ は双対的に定義される。
• カテゴリ $\mathcal{B}$ の自由余完備化を構成するために、拡張ヤオダ埋め込み $Y: \mathcal{B} \to [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]$ を用いる。
• カテゴリ $[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]^{op}$ と $[\mathcal{B}, \mathcal{V}]$ の間の Isbell 隣接関手 $[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]^{op} \rightleftarrows [\mathcal{B}, \mathcal{V}]$ を用いて、$\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ と $\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ を関連付ける。
• $\varphi = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$ に対して、関手 $-*\varphi$ の表現可能性を用いて、$\psi \in \mathcal{Q}(\mathcal{B})$ が小さな射影的対象として特徴づけられることを示す。
• $\psi * y = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$ という公式を用いて、$[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]$ 内の余極限と $\mathcal{V}$ 内の点ごとの極限を関連付ける。
• Isbell 隣接関手と双対性を結びつけるために、$\tilde{y}(\varphi) = \psi$ で $\psi(b) = [\mathcal{B}, \mathcal{V}](\varphi, Y'b)$ と定義され、双対性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベースカテゴリ $\mathcal{V}$ において、$\psi$-余極限が $\Phi$-重み付き極限と可換になるのはいつか？ そして、このような重みはどのように特徴づけられるか？
• RQ2 $\Phi^+$ と $\Phi^-$ の関係は何か？ また、これらは極限および余極限に関して飽和しているか？
• RQ3 Isbell 隣接関手は、$\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ と $\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ の間で同型に制限されるか？
• RQ4 Isbell 双対性を用いて、$[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]$ 内の小さな射影的対象の正確な特徴づけは何か？

主な発見

• $Φ^+$ および $Φ^-$ のクラスは飽和している。つまり、適切な意味で極限および余極限に関して閉じている。
• すべての重みのクラス $\mathcal{P}$ に対して $\mathcal{P}^+ = \mathcal{P}^-$ が成り立ち、$\mathcal{P}$-平坦重みが小さな射影的対象と一致することを示す。
• Isbell 隣接関手は同型 $({\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})})^{op} \cong \mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ に制限され、双対カテゴリにおける小さな射影的対象の間の双対性を提供する。
• $\psi$ が $\mathcal{Q}(\mathcal{B})$（小さな射影的対象のクラス）に属するための必要十分条件は、$\varphi = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$ に対して関手 $-*\varphi: [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}] \to \mathcal{V}$ が表現可能であることである。
• $\psi * y = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$ という公式が成り立ち、自由余完備化内の余極限と $\mathcal{V}$ 内の点ごとの極限を関連付ける。
• Isbell 隣接関手は $\hat{Y}^{op} \dashv (Y'^{op})^\sim$ を満たし、この双対性が表現可能性および射影的性の特徴づけに用いられる。