[論文レビュー] Notes on linearly H-closed spaces and od-selection principles

Mathieu Baillif|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、すべてのチェーン被覆が稠密な部分集合を含むような位相空間、すなわち線形H-閉空間—を調査し、弱いコンパクト性とH-閉性の間の厳密な中間にあることを位置づける。正則なH-閉空間はコンパクトであるが、非コンパクトな線形H-閉空間は、集まりごとの正規空間やFréchet-Urysohn空間などのさまざまなクラスに存在することを示し、PFA（プレミングフォースアキシオム）が、局所的条件を満たす第一可算な正規の非コンパクト線形H-閉空間の存在を除外することを示している。

ABSTRACT

A space is called linearly H-closed iff any chain cover possesses a dense member. This property lies strictly between feeble compactness and H-closedness. While regular H-closed spaces are compact, there are linearly H-closed spaces which are even collectionwise normal and Fréchet-Urysohn. We give examples in other classes, and ask whether there is a first countable normal linearly H-closed non-compact space in ZFC. We show that PFA implies a negative answer if the space is moreover either locally separable or locally compact and locally ccc. Ostaszewski space (built with $\diamondsuit$) is an example which is even perfectly normal. We also investigate Menger-like properties for the class of od-covers, that is, covers whose members are open and dense.

研究の動機と目的

• 線形H-閉空間という新しい位相的性質を定義し、弱いコンパクト性とH-閉性の間で厳密に位置づけること。
• ZFCにおいて、第一可算な正規の非コンパクト線形H-閉空間が存在するかを特定すること—長年の未解決問題。
• 開かつ稠密な被覆（od被覆）に関するMengerに類似した選択原理を研究すること、特にΔ被覆とΔ選択性との関係を含む。
• Δ選択性原理と古典的な選択性原理（Δ-ΔおよびΔ-𝒪）との関係を明確にすること。
• 強制公理の下で、分離可能性および局所的性質（例えば、局所的分離可能性、局所的コンパクト性、局所的ccc）が、このような空間の存在を制約する役割を調査すること。

提案手法

• チェーン被覆を用いた線形H-閉空間の定義：空間が線形H-閉であるとは、すべてのチェーン被覆が稠密な部分集合を含む、またはその稠密な部分集合の有限族の和集合が稠密であることを意味する。
• フィルター基底の特徴づけの応用：空間が線形H-閉であるとは、すべてのチェーンフィルター基底（線形に順序付けられた開フィルター基底）が付加点を持つことと同値である。
• 強制公理（PFA）を用いた一貫性結果の導出：PFAのもとで、局所的分離性を満たす、または同時に局所的コンパクト性と局所的cccを満たす第一可算な正規の非コンパクト線形H-閉空間は存在しない。
• 開かつ稠密な被覆（od被覆）を分析し、Mengerに類似した性質を調べるために選択原理Δ-Δ、Δ-𝒪、Δ-𝒪を導入する。
• トゥホノフプラントや、$\diamondsuit$を用いて構成されたオスタシュェフスキー空間（強制公理の下で構成可能）といった位相的構成を用いて、非コンパクトな線形H-閉空間の例を提示する。
• 選択原理の結果を応用する：分離可能な空間では、Δ-𝒪はΔ-𝒪に同値であり、閉かつ無 nowhere dense 部分集合は、Δ-𝒪を満たす必要十分条件は𝒪-𝒪を満たすことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCにおいて、第一可算な正規の非コンパクト線形H-閉空間は存在するか？
• RQ2 PFAのもとで、局所的分離性を満たす、または同時に局所的コンパクト性と局所的cccを満たす第一可算な正規の非コンパクト線形H-閉空間は存在しうるか？
• RQ3 分離可能な空間において、Δ-𝒪と𝒪-𝒪選択原理の関係は何か？
• RQ4 od-コンパクト空間はΔ-𝒪を満たすか？また、非od-コンパクトなLindelöf空間がΔ-𝒪を満たすが𝒪-𝒪を満たさないことは可能か？
• RQ5 空間の非孤立部分集合のΔ-𝒪性質が、元の空間のΔ-𝒪性質と同値であるか？

主な発見

• 線形H-閉空間は、弱いコンパクト性とH-閉性の間で厳密に位置づけられ、集まりごとの正規空間やFréchet-Urysohn空間などのクラスに非コンパクトな例が存在する。
• トゥホノフプラントは、非コンパクトな線形H-閉トゥホノフ空間の標準的例である。
• ドミナントの$\diamondsuit$を用いて構成されたオスタシュェフスキー空間は、完全正規で、第一可算であり、非コンパクトな線形H-閉空間である。
• PFAのもとで、局所的分離性を満たす、または同時に局所的コンパクト性と局所的cccを満たす第一可算な正規の非コンパクト線形H-閉空間は存在しない。
• 分離可能な空間では、Δ-𝒪は𝒪-𝒪に同値であり、空間がΔ-𝒪を満たす必要十分条件は、すべての閉かつ無 nowhere dense 部分集合が𝒪-𝒪を満たすことである。
• 非コンパクトなハウスドルフ空間でΔ-𝒪を満たすものは存在するが、正則空間がΔ-𝒪を満たすのは、同時に𝒪-𝒪を満たす場合に限る。