[論文レビュー] Notes on the sin2Θ theorem

Albrecht Seelmann|Oct 8, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般のスペクトル分離条件の下で自己共役作用素に対する一般化された $\mathrm{sin}^2\Theta$ 定理を確立し、凸包仮定を越えてデイヴィス＝カハンの定理を拡張する。作用素角 $\theta$ が $\|\sin 2\Theta\| \leq \frac{\pi}{2} \cdot 2\frac{\|V\|}{d}$ を満たすことを証明し、ヒルベルト空間における部分空間の摂動に対する鋭い事前評価を与える。

ABSTRACT

An analogue of the Davis-Kahan sin2Θ theorem from [SIAM J. Numer. Anal. 7 (1970), 1--46] is proved under a general spectral separation condition. This extends the generic sin2θ estimates recently shown by Albeverio and Motovilov in [Complex Anal. Oper. Theory 7 (2013), 1389--1416]. The result is applied to the subspace perturbation problem to obtain a bound on the arcsine of the norm of the difference of the spectral projections associated with isolated components of the spectrum of the unperturbed and perturbed operators, respectively.

研究の動機と目的

• デイヴィス＝カハンの sin²Θ 定理を凸包分離仮定を越えて拡張すること。
• 非摂動および摂動された自己共役作用素のスペクトル部分空間間の作用素角に対する事前評価を確立すること。
• 標準的ノルム評価を一般化した、対称的ノルム作用素イデアルにおける推定を導出すること。
• 非有界作用素および非スペクトル射影に適用可能な枠組みを提供すること。
• 作用素角 $\|\sin 2\Theta\|$ を用いた全作用素角情報の統合により、既存の $\mathrm{sin}^2\theta$ 評価を改善すること。

提案手法

• 作用素の差のスペクトル射影を、リゾルベントと摂動 $V$ を含む振動的積分を用いて表現する。
• スペクトル射影 $\mathsf{E}_A(\sigma)$ と $A+V$ のための還元射影 $Q$ を用いて作用素角 $\Theta$ を定義する。
• 関数計算とユニタリ不変性を適用し、$L^1$ ノルム $\frac{\pi}{2d}$ を持つ積分核を用いて $\sin 2\Theta$ のノルムを評価する。
• 対称的ノルム作用素イデアルにおけるキ・ファンの支配を用いて、作用素ノルムを超える一般作用素ノルムへの評価を拡張する。
• $P - Q$ を $V$ とユニタリ作用素の表現を用いて確立し、$\|\sin 2\Theta\| \leq \frac{\pi}{2} \cdot 2\frac{\|V\|}{d}$ を導出する。
• 正規作用素の場合を検討し、定数 $\frac{\pi}{2}$ が 2.91 より小さい値に改善可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デイヴィス＝カハンの sin²Θ 定理は、凸包条件を満たさない場合に拡張可能か？
• RQ2 一般のスペクトル分離 $d = \text{dist}(\sigma, \Sigma)$ の下で、sin²Θ 評価における最適定数は何か？
• RQ3 sin²Θ 評価は、対称的ノルム作用素イデアルにどのように一般化可能か？
• RQ4 摂動論において、最大角 $\theta = \|\Theta\|$ と全作用素角 $\Theta$ の関係は何か？
• RQ5 作用素 $A$ が自己共役ではなく正規である場合、評価は改善可能か？

主な発見

• 本稿は、一般のスペクトル分離 $d > 0$ の下で、スペクトル部分空間間の作用素角 $\Theta$ に対して $\|\sin 2\Theta\| \leq \frac{\pi}{2} \cdot 2\frac{\|V\|}{d}$ を証明する。
• この評価は、$A$ が非有界で、$Q$ が $A+V$ のスペクトル射影でない場合でも成立し、事前評価として有効である。
• この推定により、$\|V\| < \frac{d}{\pi}$ ならば $\|\sin 2\Theta\| < 1$ であるため、$\Theta$ は $\frac{\pi}{4}$ の周囲にスペクトルギャップを持つ。
• この評価は、単にノルムのみを制御する古典的 $\sin 2\theta$ 評価よりも強力であり、全作用素角を制御している。
• 対称的ノルム作用素イデアル $\mathfrak{S}$ に対しては、キ・ファンの支配が成り立つ限り、$\interleave \sin 2\Theta \interleave \leq \frac{\pi}{2} \cdot 2\frac{\interleave V \interleave}{d}$ に拡張可能である。
• 正規作用素の場合、定数 $\frac{\pi}{2}$ は 2.91 より小さい普遍定数に置き換え可能であり、特にヒルベルト＝シュミット作用素の場合は 1 にまで低下する。