[論文レビュー] NP-hardness results for partitioning graphs into disjoint cliques and a triangle-free subgraph

Carl Feghali, Faisal N. Abu-Khzam+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフの頂点を互いに素なクリークと三角形を含まない部分グラフに分割する問題のNP完全性を確立し、平面グラフおよび完璧グラフに制限しても計算的に困難であることを証明している。この結果は、既知のNP困難性を重要なグラフクラスに拡張し、構造的グラフ分割における本質的な複雑性を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

This paper investigates the computational complexity of deciding whether the vertices of a graph can be partitioned into a disjoint union of cliques and a triangle-free subgraph. This problem is known to be $\NP$-complete on arbitrary graphs. We show that this problem remains $\NP$-complete even when restricted to planar graphs and perfect graphs.

研究の動機と目的

• グラフを互いに素なクリークと三角形を含まない部分グラフに分割する問題の計算複雑性を特定すること。
• この分割問題が、平面性や完璧性などの構造的制約のもとでもNP完全であるかどうかを調査すること。
• 一般グラフを超えて、グラフ分割問題におけるNP困難性の理解を拡張すること。
• クリークと三角形を含まない成分を含む特定のタイプのグラフ分解におけるタイトな複雑性バウンズを確立すること。

提案手法

• 平面グラフおよび完璧グラフの制約下での難易度を示すために、既知のNP完全問題への還元を実施すること。
• 平面性および完璧グラフの条件を満たしつつ、分割性の性質を保持するグラフインスタンスの構築。
• 構造的グラフ理論の利用により、得られるグラフが平面的かつ完璧であると同時に、分割意思決定問題のNP完全性を維持すること。
• 構築されたインスタンスにおいて、クリークと三角形を含まない部分グラフへの有効な分割が、元のNP完全問題の解に対応することの形式的証明。
• 完璧グラフおよび平面グラフの性質の適用により、還元の正しさと完全性を維持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフ上での、グラフを互いに素なクリークと三角形を含まない部分グラフに分割する問題はNP完全か？
• RQ2 この分割問題のNP完全性は、完璧グラフに制限された場合にも保持されるか？
• RQ3 平面性や完璧性といった構造的制約を保ったまま、この分割問題のNP困難性を還元を用いて証明できるか？
• RQ4 この分割問題の計算複雑性は、良好に構造化されたグラフクラスにおいてどのようになるか？

主な発見

• 一般グラフ上での、グラフを互いに素なクリークと三角形を含まない部分グラフに分割する問題はNP完全である。
• この問題は平面グラフに制限されてもNP完全のままであり、平面性が問題を単純化しないことを示している。
• この問題は完璧グラフに対してもNP完全であるため、完璧性が計算的困難さを軽減しないことが示された。
• 構造的制約の下でもNP完全性が保持されることから、このタイプのグラフ分解における本質的ハードネスが明らかになった。