[論文レビュー] Null-Controllability of Two Species Reaction-Diffusion System with Nonlinear Coupling: A New Duality Method

Kévin Le Balc’h|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、反応拡散系の2種類の非線形系に、内部制御を1つ用いて、新規の双対性手法である「反射的一意性法」を用いて、グローバルなゼロ制御可能性を確立する。$L^p$ 空間（$p \geq 2$）へのCarleman推定の拡張と放物型正則性を活用することで、著者らは、正則関数の奇数乗である制御を構成し、初期データが小さい場合に制御が小さくなるように保証するとともに、ゼロまわりの線形化系の制御可能性の失敗を克服する。

ABSTRACT

We consider a $2 imes2$ nonlinear reaction-diffusion system posed on a smooth bounded domain$$Ω$ of R N (N $\ge$ 1$). The control input is in the source term of only one equation. It is localized in some arbitrary nonempty open subset $ω$ of the domain $Ω$. First, we prove a global null-controllability result when the coupling term in the second equation is an odd power. As the linearized system around zero is not null-controllable, the usual strategy consists in using the return method, introduced by Jean-Michel Coron, or the method of power series expansions. In this paper, we give a direct nonlinear proof, which relies on a new duality method that we call Reflexive Uniqueness Method. It is a variation in reflexive Banach spaces of the well-known Hilbert Uniqueness Method, introduced by Jacques-Louis Lions. It is based on Carleman estimates in $L^p$ ($2 \leq p < \infty$) obtained from the usual Carleman inequality in $L^2$ and parabolic regularity arguments. This strategy enables us to find a control of the heat equation, which is an odd power of a regular function. Another advantage of the method is to produce small controls for small initial data. Secondly, thanks to the return method, we also prove a null-controllability result for more general nonlinear reaction-diffusion systems, where the coupling term in the second equation behaves as an odd power at zero.

研究の動機と目的

• 結合項が奇数乗である場合に、1つの内部制御を用いた2×2非線形反応拡散系のグローバルゼロ制御可能性を確立すること。
• ゼロのまわりの線形化系がゼロ制御可能でないため、標準的な線形化に基づく手法が適用できない状況を克服すること。
• リターン法や級数展開を避ける直接的な非線形アプローチを構築し、非線形放物型系のための新しい枠組みを提供すること。
• 熱方程式に対する制御を、正則関数の奇数乗として構成し、初期データが小さい場合に制御が小さくなるように保証すること。
• リターン法を用いて一般非線形系への拡張を図り、ゼロ近傍で奇数乗に類似した振る舞いを示す非線形性に対して、局所的ゼロ制御可能性を証明すること。

提案手法

• 反射的バナッハ空間$L^p$（$2 \leq p < \infty$）における双対性技法として、ヒルベルト一意性法の変種である「反射的一意性法」を提案する。
• 放物型正則性と双対性の議論を用いて、標準的な$L^2$ Carleman不等式から$L^p$ Carleman推定を導出する。
• この手法を用いて、$h = \psi^{2k+1}$（$\psi \in L^{2k+2}(Q_T)$）を満たす制御$h$を熱方程式に対して構成し、可積分性と正則性を保証する。
• ブートストラップ法を用いて、双対問題からの正則性を制御へと伝播させ、$h \in L^2(Q_T)$が成り立つことを保証する。
• ゼロ近傍で非線形性が奇数乗に類似した振る舞いを示す一般非線形系に対して、リターン法を用いて結果を拡張する。
• 双対問題の解の一意性と反射的空間における弱収束性に依存し、近似列の極限を取る際に極限が必要な推定を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合項が非線形結合であり、内部制御が1つである2種類の反応拡散系に対し、グローバルゼロ制御可能性が達成可能か。特に、線形化系がゼロ制御可能でない場合でも可能か。
• RQ2 $L^p$ 空間における双対性手法を用いて、正則関数の奇数乗である制御を構成することは可能か。
• RQ3 ヒルベルト一意性法を反射的バナッハ空間に一般化し、放物型系における非線形性を扱えるか。
• RQ4 提案された双対性手法により、初期データが小さい場合に制御が小さくなるか。これは、既存の非線形制御戦略を改善するか。
• RQ5 非線形性がゼロ近傍で奇数乗に類似した振る舞いを示す場合に、リターン法を用いて一般非線形系への拡張が可能か。

主な発見

• 反射的一意性法は、2番目の式における結合項が奇数乗である「奇数乗系」に対して、グローバルゼロ制御可能性を成功裏に証明した。これは、線形化系がゼロ制御可能でないにもかかわらず成立する。
• この手法により、熱方程式に対する制御$h$が正則関数$\psi$の奇数乗として構成され、$h \in L^2(Q_T)$を満たすことが保証された。これにより、制御が適切に定義され、可積分であることが保証された。
• 反射的空間における$L^p$推定と弱収束の議論により、初期データが小さい場合に制御が小さくなることが示された。
• $L^p$ Carleman推定は、放物型正則性と双対性を用いて、標準的な$L^2$不等式から導出され、$p \geq 2$への拡張が可能となった。
• この手法により、双対問題の解が$L^{2k+2}(Q_T)$で一意に存在し、反射的空間における弱収束性により、極限が必要な推定を満たすことが保証された。
• リターン法を用いて、ゼロ近傍で奇数乗に類似した振る舞いを示す結合項を有する一般非線形系に対し、局所的ゼロ制御可能性が成功裏に証明された。