[論文レビュー] Numbers with countable expansions in base of generalized golden ratios

Yuehua Ge, Bo Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、SidorovとVershikの黄金比基数における可算展開に関する結果を、任意の m ∈ ℕ に対して一般化された黄金比基数 β = G(m) に拡張する。偶数 m = 2k の場合、β = k+1 であり、奇数 m = 2k+1 の場合、β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2 である。本稿は、x = pβⁿ + q / (k+1)ⁿ（偶数 m）または x = (pβ + q)/(k+1)ⁿ（奇数 m）の形をした数がちょうど ℵ₀ 個の展開を持つことを証明し、(0, m/(β−1)) 内の他のすべての数が 2^ℵ₀ 個の展開を持つことを示し、Bakerが提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Sidorov and Vershik showed that in base $G=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ and with the digits $0,1$ the numbers $x=nG ~( ext {mod} 1)$ have $\aleph_{0}$ expansions for any $n\in\mathbb{Z}$, while the other elements of $(0, \frac{1}{G-1})$ have $2^{\aleph_{0}}$ expansions. In this paper, we generalize this result to the generalized golden ratio base $β=\mathcal{G}(m)$. With the digit-set $\{0,1,\cdots, m\}$, if $m=2k+1$, $\mathcal{G}(m)=\frac{k+1+\sqrt{k^{2}+6k+5}}{2}$, the numbers $x=\frac{pβ+q}{(k+1)^{n}}\in(0, \frac{m}{β-1})$ (where $n, p, q\in\mathbb{Z}$) have $\aleph_{0}$ expansions, while the other elements of $(0, \frac{m}{β-1})$ have $2^{\aleph_{0}}$ expansions; if $m=2k$, $\mathcal{G}(m)=k+1$, the numbers with countably many expansions are $\frac{p}{(k+1)^{n}}\in(0, 2) ~(n, p\in\mathbb{N}\cup\{0\})$. This solves an open question by Baker.

研究の動機と目的

• SidorovとVershikの黄金比基数における可算展開に関する結果を、任意の m ∈ ℕ に対して一般化された黄金比基数 β = G(m) に拡張すること。
• Bakerが提起した、一般化された黄金比基数におけるちょうど可算個の展開を持つ数の存在に関する未解決問題を解決すること。
• β = G(m) に対して、{0,1,…,m} を数字の集合とするとき、(0, m/(β−1)) 内の実数のうち、ちょうど ℵ₀ 個の展開を持つ集合を特定すること。
• 区間 (0, m/(β−1)) 内のすべての数が、非可算個の展開 (2^ℵ₀) をもつか、ちょうど可算個の展開 (ℵ₀) をもつかの明確な二分法を確立すること。

提案手法

• 偶数 m = 2k の場合、β = G(m) を k+1 と定義し、奇数 m = 2k+1 の場合、β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2 と定義する。
• 記号的力学系と変換 T（グリーディ写像の変種）を用いて展開の構造を分析する。
• 尾部の挙動に基づいて系列を分類するための概念 Ind⁺(·) を導入し、これにより非可算個の展開族を検出する。
• 無限展開を有限展開に還元する再帰的変換プロセスを適用し、特に ((k+1)k)^∞ で終わる系列に注目する。
• 集合 S 内の数に対して非可算個の展開があると仮定し、変換を逆方向にたどることで、1 の展開が非可算個であるという矛盾を導く。
• 1 がただ可算個の展開しか持たないという事実を活用し、S 内の数に対して非可算個の展開があると仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された黄金比基数 β = G(m) に対して、(0, m/(β−1)) 内のどの数が {0,1,…,m} の数字を用いたちょうど可算個の β 展開を持つのか？
• RQ2 Sidorov と Vershik の黄金比基数における可算展開に関する結果が、すべての m ∈ ℕ に対して同様に成り立つか？
• RQ3 一般化された黄金比基数におけるちょうど ℵ₀ 個の展開を持つ数の集合の正確な代数的・算術的構造は何か？
• RQ4 一般化された黄金比基数 β = G(m) に対して、非可算個の展開を持つ数の集合が、区間 (0, m/(β−1)) 内の可算集合の補集合として完全に特徴付けられるか？
• RQ5 一般化された黄金比基数において、m が偶数か奇数かによって展開の構造はどのように変化するか？

主な発見

• 偶数 m = 2k の場合、一般化された黄金比基数は β = k+1 であり、ちょうど ℵ₀ 個の展開を持つ数は、(0,2) 内の形 p/(k+1)ⁿ の二進有理数（n,p ∈ ℕ ∪ {0}）に限る。
• 奇数 m = 2k+1 の場合、一般化された黄金比基数は β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2 であり、ちょうど ℵ₀ 個の展開を持つ数は、(0, m/(β−1)) 内の形 (pβ + q)/(k+1)ⁿ の数（n,p,q ∈ ℤ）に限る。
• それ以外の (0, m/(β−1)) 内の数はすべて 2^ℵ₀ 個の展開を持つことから、可算と非可算の展開集合の明確な二分法が確立される。
• 偶数および奇数 m の両方について、ちょうど ℵ₀ 個の展開を持つ数の集合は可算無限個であり、明示的に特徴付けられている。
• 証明は背理法に依拠している：特殊な集合 S 内の数に対して非可算個の展開があると仮定すると、1 の展開も非可算個であると導かれ、これは 1 がただ可算個の展開しか持たないという事実と矛盾する。
• 変換 T と関数 Ind⁺(·) は、系列の追跡と分類に不可欠であり、無限展開を有限展開に還元し、非可算展開族の構造的制約を明らかにする。