[論文レビュー] Numerical approximations of the Cahn-Hilliard and Allen-Cahn Equations with general nonlinear potential using the Invariant Energy Quadratization approach

Xiaofeng Yang, Guodong Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 19被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、一般の非線形ポテンシャルを伴うCahn-Hilliard方程式およびAllen-Cahn方程式に対して、不変エネルギー二次形式化（IEQ）手法を用いた一次精度の半離散数値スキームを提案する。非線形ポテンシャルを新たな変数を用いて二次形式に再定式化することで、線形かつ無条件エネルギー安定なスキームが得られる。主な貢献は、物理的に妥当な条件（ポテンシャルの有界性および連続性）のもとで、最適な誤差推定値を厳密に導出したことである。これらの条件は、二重井戸型や正則化されたFlory-Huggins型ポテンシャルといった一般的なポテンシャルで満たされる。

ABSTRACT

In this paper, we carry out stability and error analyses for two first-order, semi-discrete time stepping schemes, which are based on the newly developed Invariant Energy Quadratization approach, for solving the well-known Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with general nonlinear bulk potentials. Some reasonable sufficient conditions about boundedness and continuity of the nonlinear functional are given in order to obtain optimal error estimates. These conditions are naturally satisfied by two commonly used nonlinear potentials including the double-well potential and regularized logarithmic Flory-Huggins potential. The well-posedness, unconditional energy stabilities and optimal error estimates of the numerical schemes are proved rigorously.

研究の動機と目的

• 一般の非線形体積ポテンシャルを伴うCahn-Hilliard方程式およびAllen-Cahn方程式に対して、無条件エネルギー安定な数値スキームを開発すること。
• 特に一般の非線形ポテンシャルに対して、IEQ型スキームの厳密な誤差解析が不足している問題に対処すること。
• ポテンシャルの有界性および連続性に関する十分条件を同定することで、最適な誤差推定値を確立すること。
• 多様な非線形ポテンシャルを有するさまざまな勾配流れモデルに適用可能な一般化された解析的枠組みを提供すること。
• IEQ法の適用範囲をエネルギー安定性にとどまらず、最適収束速度を伴う収束解析へと拡張すること。

提案手法

• 補助変数を用いて非線形ポテンシャルを二次形式に変換するため、不変エネルギー二次形式化（IEQ）手法を適用する。
• 元のPDEを新たな変数の観点から再定式化し、連続レベルにおけるエネルギー散逸法則を保存する。
• 時間微分を一次精度の半implicitスキームで離散化し、線形方程式系が得られる。
• 構成上、得られる線形方程式系が適切に定義されており、無条件エネルギー安定であることを保証する。
• 試行関数と同一の関数空間に属するテスト関数を用いた変分形式から誤差推定値を導出する。
• 数学的帰納法と二次関数的汎関数のリプシッツ連続性を用いて、新たな変数における誤差を評価し、元の解に戻す関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非線形ポテンシャルを伴うCahn-Hilliard方程式およびAllen-Cahn方程式にIEQに基づくスキームを適用した場合、最適な誤差推定値を厳密に導出できるか？
• RQ2 最適な誤差制御に必要なポテンシャルの有界性および連続性を保証するための最小限の条件は何か？
• RQ3 IEQ変換が非線形性の存在下で誤差伝播および収束挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 IEQフレームワークを、エネルギー安定性を越えて、特に一次時間離散化に対して誤差推定値を提供するように拡張できるか？
• RQ5 導出された誤差推定値は、二重井戸型や正則化されたFlory-Huggins型ポテンシャルといった標準的ポテンシャルに対してもどの程度有効に適用できるか？

主な発見

• 一次IEQスキームをCahn-Hilliard方程式およびAllen-Cahn方程式に適用した場合、誤差推定値が最適なオーダー 𝒪(δt) で確立された。
• 誤差境界は、ポテンシャルの有界性および連続性に関する十分条件のもとで導出されており、これらは二重井戸型および正則化されたFlory-Huggins型ポテンシャルで自然に満たされる。
• スキームは無条件エネルギー安定であり、時間刻み幅やメッシュ解像度に依存せずにエネルギーの減少が保たれる。
• IEQ法から得られる線形方程式系は適切に定義されており、Allen-Cahn方程式の場合、対称正定値である。
• 十分に小さな時間刻みに対して、一様な有界性 ∥φn∥L∞ ≤ κ が確立され、誤差解析における非線形項の制御に不可欠である。
• 変分形式に起因する一般性から、本解析的枠組みは、空間離散化がガラーキン型の任意の整合的スキームに拡張可能である。