[論文レビュー] Numerical investigations of non-uniqueness for the Navier-Stokes initial value problem in borderline spaces

Julien Guillod, Vladimír Šverák|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、境界付近のスケール不変空間におけるナビエ＝ストークス初期値問題における非一意性に関する数値的証拠を提示する。軸対称かつ反転対称な初期データを用い、原点を除いて滑らかである。大規模な初期データに対して、数値解は反転対称性を破るピッチフォーク分岐を示し、同じ初期データに対して複数のレイリー＝ホプフ解が存在することを示唆する。これにより、摂動的および弱解-strong解の一意性の結果が本質的に最適であることが示される。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^3$ for a one-parameter family of explicit scale-invariant axi-symmetric initial data, which is smooth away from the origin and invariant under the reflection with respect to the $xy$-plane. Working in the class of axi-symmetric fields, we calculate numerically scale-invariant solutions of the Cauchy problem in terms of their profile functions, which are smooth. The solutions are necessarily unique for small data, but for large data we observe a breaking of the reflection symmetry of the initial data through a pitchfork-type bifurcation. By a variation of previous results by Jia & Šverák (2013) it is known rigorously that if the behavior seen here numerically can be proved, optimal non-uniqueness examples for the Cauchy problem can be established, and two different solutions can exists for the same initial datum which is divergence-free, smooth away from the origin, compactly supported, and locally $(-1)$-homogeneous near the origin. In particular, assuming our (finite-dimensional) numerics represents faithfully the behavior of the full (infinite-dimensional) system, the problem of uniqueness of the Leray-Hopf solutions (with non-smooth initial data) has a negative answer and, in addition, the perturbative arguments such those by Kato (1984) and Koch & Tataru (2001), or the weak-strong uniqueness results by Leray, Prodi, Serrin, Ladyzhenskaya and others, already give essentially optimal results. There are no singularities involved in the numerics, as we work only with smooth profile functions. It is conceivable that our calculations could be upgraded to a computer-assisted proof, although this would involve a substantial amount of additional work and calculations, including a much more detailed analysis of the asymptotic expansions of the solutions at large distances.

研究の動機と目的

• 滑らかでない、スケール不変な初期データを有するナビエ＝ストークス方程式に対するレイリー＝ホプフ解の一意性を調査すること。
• L^3 や BMO^{-1} に関連するような境界付近の関数空間において非一意性が生じるかどうかを検討すること。
• 特に、対称性の破れに注目して、大規模な初期データ下でのスケール不変で軸対称な解の数値的挙動を分析すること。
• 同じ初期データに対応する複数の解の存在を数値的に支援することにより、既存の一意性結果の最適性を示すこと。

提案手法

• 滑らかで発散なしのベクトル場のクラスにおけるプロファイル関数を用いた、スケール不変で軸対称な解の数値的計算。
• 有限次元の数値的継続法を用い、初期データの大きさを増加させながら解を追跡し、分岐を検出すること。
• Jia–Šverák (2013a) の解析的枠組みの変種を用い、数値的観察を厳密な非一意性結果に結びつけること。
• 非自明で-compactly なベクトル場による摂動を用いて、自己相似解から2つの異なる軸対称解を構成すること。
• 漸近的および補間推定を用いて、解の正則性およびレイリー＝ホプフ解およびセリーン型関数空間への属性を検証すること。
• エネルギー推定およびコンパクトネスの議論を用いて、構築された解が弱形式およびエネルギー不等式を満たすことを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付近のスケール不変空間におけるナビエ＝ストークス初期値問題において、非一意性が生じ得るか？
• RQ2 解のプロファイルにおける対称性の破れは、同じ初期データに対して複数の解が存在することを示唆するか？
• RQ3 大規模初期データにおける軸対称解のピッチフォーク分岐の数値的証拠を、厳密な非一意性例の構成に用いることができるか？
• RQ4 カトウ (1984) やコッホ＝タタル（2001）の摂動的一意性結果は、より大きなデータクラスへの拡張が不可能であるという意味で、本質的に最適であるか？
• RQ5 数値的に観察された挙動を、大距離における詳細な漸近的解析を用いて、コンピュータ支援証明に昇華させることができるか？

主な発見

• 大規模な初期データに対して、数値解は反転対称性を破るピッチフォーク型の分岐を示し、初期データの対称性の破れを示唆する。
• 数値的結果は、発散なし、コンパクトに台を持つ、かつ原点近傍で局所的に (−1)-斉次な初期データに対し、2つの異なる軸対称的で t>0 で滑らかな解が存在しうることを示唆する。
• このような解の存在は、レイリー、プロディ、セリーン、ラジエンシュチャヤの弱解-strong解の一意性定理が、現在の形で本質的に最適であることを示唆する。
• カトウ (1984) やコッホ＝タタル (2001) の摂動的一意性結果も、同じ関数空間において大規模データに拡張できないことから、本質的に最適であることが示される。
• 構築された解は t>0 で滑らかであり、特異性を含まない。すべての数値計算は滑らかなプロファイル関数に基づいている。
• 初期データが小さい場合に限り、解はセリーンクラスに属するが、大規模な初期データではセリーンクラスの外にある。これは古典的正則性仮定の破綻を示唆する。