[論文レビュー] Numerical Solutions of Reaction-Diffusion Equation Systems with Trigonometric Quintic B-spline Collocation Algorithm

Aysun Tok Onarcan, Nihat Adar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、反応拡散系を数値的に解くために、三角関数的5次Bスプライン配置法とCrank-Nicolson時間離散化を組み合わせた手法を提案する。この手法は、大きな時間ステップでも高い精度と安定性を達成でき、Schnakenberg、Gray-Scott、Brusselatorモデルにおける複雑な空間時間パターンを効果的にシミュレートする。線形系では標準的なマルチグリッドソルバーを上回り、非線形系では多項式Bスプライン法と同等またはそれ以上の性能を示す。

ABSTRACT

In this study, the numerical solutions of reaction-diffusion systems are investigated via the trigonometric quintic B-spline nite element collocation method. These equations appear in various disciplines in order to describe certain physical facts, such as pattern formation, autocatalytic chemical reactions and population dynamics. The Schnakenberg, Gray-Scott and Brusselator models are special cases of reaction-diffusion systems considered as numerical examples in this paper. For numerical purposes, Crank-Nicolson formulae are used for the time discretization and the resulting system is linearized by Taylor expansion. In the finite element method, a uniform partition of the solution domain is constructed for the space discretization. Over the mentioned mesh, dirac-delta function and trigonometric quintic B-spline functions are chosen as the weighted function and the bases functions, respectively. Thus, the reaction-diffusion system turns into an algebraic system which can be represented by a matrix equation so that the coeffcients are block matrices containing a certain number of non-zero elements in each row. The method is tested on different problems. To illustrate the accuracy, error norms are calculated in the linear problem whereas the relative error is given in other nonlinear problems. Subject to the character of the nonlinear problems, the occurring spatial patterns are formed by the trajectories of the dependent variables. The degree of the base polynomial allows the method to be used in high-order differential equation solutions. The algorithm produces accurate results even when the time increment is larger. Therefore, the proposed Trigonometric Quintic B-spline Collocation method is an effective method which produces acceptable results for the solutions of reaction-diffusion systems.

研究の動機と目的

• 複雑な空間時間的ダイナミクスを示す反応拡散系を解くための堅牢な数値法の開発。
• 偏微分方程式における4階までの導関数の近似に、三角関数的5次Bスプラインの性能を調査する。
• 精度と効率の観点から、既存の多項式Bスプライン配置法およびCrank-Nicolsonマルチグリッドソルバーと比較する。
• 新しいアルゴリズムを用いて、Gray-Scottモデルにおける自己複製型スポットパターンをシミュレート・分析する。
• 非線形反応項および非一様境界条件を扱う能力を示す。

提案手法

• 本手法は、ガラーキン有限要素配置フレームワークにおいて、三角関数的5次Bスプラインを基底関数とし、重み関数にデルタ関数を用いる。
• 時間離散化にはCrank-Nicolsonスキームを採用し、2次精度と無条件安定性を確保する。
• 反応拡散系の非線形項はテイラー展開を用いて線形化され、得られる代数的連立方程式の反復的解法が可能になる。
• 空間領域は均等に分割され、系の弱形式は帯状構造を持つブロック行列方程式に変換され、効率的な解法が可能になる。
• 本手法はディリクレ境界条件およびノイマン境界条件の両方をサポートしており、各モデル系に対して初期条件が指定される。
• Gray-Scottモデルではt=1000まで数値解が計算され、誤差ノルムと相対誤差が精度の評価に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角関数的5次Bスプライン配置法は、複雑なパターン形成を示す非線形反応拡散系に対して、高精度かつ安定した解を提供できるか？
• RQ2 多項式5次Bスプライン配置法およびCrank-Nicolsonマルチグリッドソルバーと比較して、精度と効率の観点で本手法はどのように差をつけるか？
• RQ3 標準パラメータ下で、Gray-Scottモデルにおける自己複製型スポットパターンを本手法がどの程度正確に捉えることができるか？
• RQ4 三角関数的Bスプラインの使用により、解における高階微分の近似精度と滑らかさ（高階連続性）が向上するか？
• RQ5 大きな時間ステップでも本手法は精度を維持できるか。これにより計算コストが削減可能か？

主な発見

• 線形テスト問題において、提案手法は多項式5次Bスプライン配置法およびCrank-Nicolsonマルチグリッドソルバーと同等またはそれ以上の精度を達成し、誤差ノルムが低かった。
• 非線形Gray-Scottモデルにおいて、本手法は自己複製型スポットパターンを効果的に再現した。初期のパルスは時間経過とともに4つに分裂し、t=1000までにさらに分岐を繰り返した。
• 時間ステップΔt=0.2という比較的大きなステップでも、安定性と精度を維持しており、時間離散化のサイズに対して頑健であることが示された。
• Gray-ScottモデルにおけるUおよびVの空間的パターンは、初期に2つのパルスが存在する状態から、複雑な分岐ネットワークのスポットに進化し、既存の文献に記載されたダイナミクスと整合的であった。
• 三角関数的5次Bスプラインの使用により、4階連続な近似が可能となり、系における高階微分の正確な表現が可能になった。
• Schnakenberg、Brusselator、Gray-Scottモデルのすべてに対してグラフィカルな結果が得られ、既存の発表済みシミュレーションと定性的に一致しており、本手法の信頼性が検証された。