[論文レビュー] Numerical verification of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristics and of Greenberg's $p$-rationality conjecture

Razvan Barbulescu, Jishnu Ray|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Cohen-Lenstra-MartinetのヒューリスティクスとHofmannとZhangによる$p$-adicレギュレータに関する予想を用いて、多二乗および多立方体体におけるGreenbergの$p$-有理性予想の数値的検証を提供する。また、$p \in [5, 97]$ および $t \in [7, 11]$ の範囲で、無限個の$p$-有理的四次体を構成し、巡回三次体における単数の計算のための新しいアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、大規模な$p$-有理的体の探索において、著しく計算効率を向上させる。

ABSTRACT

In this paper we make a series of numerical experiments to support Greenberg's $p$-rationality conjecture, we present a family of $p$-rational biquadratic fields and we find new examples of $p$-rational multiquadratic fields. In the case of multiquadratic and multicubic fields we show that the conjecture is a consequence of the Cohen-Lenstra-Martinet heuristic and of the conjecture of Hofmann and Zhang on the $p$-adic regulator, and we bring new numerical data to support the extensions of these conjectures. We compare the known algorithmic tools and propose some improvements.

研究の動機と目的

• Greenbergの予想、すなわち、指定されたガロア群をもつ$p$-有理的数体の存在を支持する数値的証拠を提供すること。
• すべての素数 $p \in [5, 97]$ および $t \in [7, 11]$ に対して、$t$ を $p$ に依存させる形で、無限個の$p$-有理的四次体を構成すること。
• 多二乗体および多立方体体の$p$-有理性が、Cohen-Lenstra-MartinetのヒューリスティクスとHofmann-Zhangの$p$-adicレギュレータに関する予想に従うことを示し、理論的枠組みを拡張すること。
• 特に巡回三次体および多二乗体において、単数および$p$-主単数の計算のためのアルゴリズム的ツールを改善すること。
• 最適化された計算手法を用いて、高次の多二乗体の$p$-有理的体の新しい例を生成すること。

提案手法

• MovahhediとNguyen Quang Doによる特徴付けに基づき、$p$-有理性とガロア群 $\mathrm{Gal}(K_{S_p}/K)^{\text{ab}}$ における捩れ部分群 $\mathcal{T}_p$ の自明性との同値性を用いる。
• 体 $K$ が $p$-有理的であることの基準として、写像 $\mu(K)_p \to \prod_{\mathfrak{p} \in S_p} \mu(K_\mathfrak{p})_p$ が同型であり、$p$-冪単数条件を満たすことを利用。
• Schirokauer写像を用いて、$p$-主単数の存在を、単数の対数埋め込みから得られる行列 $M(U)$ のランクを調べることでテスト。
• 次数 $q$ に対して $\ell \equiv 1 \mod q$ を満たす導手の素因数 $\ell$ を用い、$\mathfrak{l}$ が主イデアルである場合に、$\sigma(\omega)/\omega$ の比として単数を生成する新しいアルゴリズムを導入。
• LLL削減を用いて素イデアルの生成元を特定し、イデアルが主である場合に効率的に単数を構成。
• 既存のアルゴリズムと比較し、特に多二乗体および多立方体体に対して最適化を施し、$p$-有理的体探索の高速化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Greenbergの$p$-有理性予想は、すべての有限アーベル群 $G$ および素数 $p$ に対して成り立つか？
• RQ2 Cohen-Lenstra-MartinetのヒューリスティクスとHofmann-Zhangの$p$-adicレギュレータに関する予想が、同時に多二乗体および多立方体体の$p$-有理的体の存在を示唆できるか？
• RQ3 巡回三次体のうち、$\ell \equiv 1 \mod q$ を満たす素数 $\ell$ に対して、その上にある素イデアル $\mathfrak{l}$ が主イデアルとなる割合はどの程度か？（新しいアルゴリズムによる効率的単数計算が可能となる条件）
• RQ4 Buchmannの手法と比較して、新しいアルゴリズムは$p$-有理的体探索における計算時間短縮にどの程度効果的か？
• RQ5 各 $p \in [5, 97]$ および $t \in [7, 11]$ に対して、構築された四次体族に無限個の$p$-有理的体が存在するか？

主な発見

• 著者らは、すべての素数 $p \in [5, 97]$ および $t \in [7, 11]$ に対して、$t$ を $p$ に依存させる形で、無限個の$p$-有理的四次体を構成し、各ペアに対して明示的な例を提供した。
• 多二乗体および多立方体体において、$p$-有理性はCohen-Lenstra-MartinetのヒューリスティクスとHofmann-Zhangの$p$-adicレギュレータに関する予想に従うことが示され、数値的観察の理論的基盤が提供された。
• 巡回三次体における単数計算のための新しいアルゴリズムは、テストされたケースの43.1％（全630件中272件、導手≤4000）で成功し、イデアル $\mathfrak{l}$ が主である場合に計算時間を著しく短縮した。
• SageMathにおけるアルゴリズムの実装は、この手法が大規模な$p$-有理的体探索において実用的かつスケーラブルであることを示した。
• 本稿は、多二乗体の高次元における$p$-有理性を支持する広範な数値的データを提供し、拡張された予想を裏付けた。
• 著者らは、Schirokauer写像とイデアル因数分解、LLL削減を組み合わせることで、既存のアルゴリズムを改善し、$p$-主単数の検出をより高速に、$p$-有理性の検証をより効率的に可能にした。