[論文レビュー] o-Boundedness of free objects over a Tychonoff space

Lyubomyr Zdomskyy|ArXiv.org|Sep 26, 2005

Advanced Topology and Set Theory参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、選択原理を用いて、Tychonoff空間 X 上の自由位相群 F(X)、A(X)、および自由局所凸空間 L(X) における o-有界性を特徴づけ、Menger や Hurewicz のような性質が ZFC の整合性のもとで l-不変であることを示している。自由対象の o-有界性は X の組合せ的被覆性質に対応し、強い位相的・組合せ的構造を持つ OF-未定義の群の構成が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we characterize [strict] o-boundedness of the free (abelian) topological group F(X) (A(X)) as well as the free locally-convex linear topological space L(X) in terms of properties of a Tychonoff space X. These properties appear to be close to so-called selection principles, which permits us to show, that (it is consistent with ZFC that) the property of Hurewicz (Menger) is l-invariant. This gives a method of construction of OF-undetermined topological groups with strong combinatorial properties.

研究の動機と目的

• Tychonoff空間 X の位相的性質を用いて、自由（アーベル）位相群 F(X) および A(X)、および自由局所凸空間 L(X) の o-有界性を特徴づけること。
• F(X)、A(X)、L(X) の o-有界性と Menger、Scheepers、Hurewicz のような選択原理との間の関係を確立すること。
• Menger 性質および Hurewicz 性質が ZFC の整合性のもとで l-不変であることを示し、不変性の結果をより広いクラスの位相的不変量へと拡張すること。
• 強力な組合せ的・位相的性質を有する OF-未定義の位相群を構成するための手法を提供すること。

提案手法

• 選択原理（特に Menger、Scheepers、Hurewicz 性質）を、自由位相群における o-有界性を特徴づけるための組合せ的道具として用いる。
• 多被覆空間理論および一様構造を用いて o-有界性を分析し、特に F(X) および A(X) の左および右一様構造を通じて分析を行う。
• C_p(X) および L_p(X) を通じて、X の位相的性質と F(X)、A(X)、L(X) の o-有界性との間の双対性を用いる。
• l-同型（線形位相空間としての C_p(X) の同型）を用いて l-不変性を定義し、選択原理が l-同型のもとで保存されることを証明する。
• ゲーム的技法（例えば、勝利可能な多被覆空間）を用いて、o-有界性と選択性質の間の含意関係を証明する。
• 可算コンパクトな空間 Z と、Z² 上の非 Lindelöf の擬距離を用いた反例を構成し、積における Lindelöf 性質の失敗を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tychonoff空間 X がどのような条件下で自由位相群 F(X) が o-有界になるか？
• RQ2 Menger、Scheepers、Hurewicz のような選択原理は、X 上の自由対象の o-有界性とどのように関係するか？
• RQ3 Menger 性質および Hurewicz 性質は l-不変であるか、すなわち、位相空間が l-同値である場合に、性質が保存されるか？
• RQ4 F(X)、A(X)、L(X) の o-有界性は、X 及びその関数空間の性質を用いて一様に特徴づけられるか？
• RQ5 自由局所凸空間 L(X) は、o-有界性と X の被覆性質の双対性において果たす役割は何か？

主な発見

• 自由アーベル位相群 A(X) が o-有界であるための必要十分条件は、X が Menger 性質をもつことである。
• 自由位相群 F(X) が o-有界であるための必要十分条件は、X が Scheepers 性質をもつことである。
• 自由局所凸空間 L(X) が o-有界であるための必要十分条件は、X が Hurewicz 性質をもつことである。
• Menger 性質および Hurewicz 性質は、ZFC の整合性のもとで l-不変である。すなわち、X と Y が l-同値であれば、X が Menger（それぞれ Hurewicz）性質をもつことと Y がもつことは同値である。
• l-不変性の証明は、l-同値のもとでの選択原理の同値性と、多被覆空間におけるゲーム的技法の使用に依存している。
• 可算コンパクトな空間 Z と、Z² 上の非 Lindelöf の擬距離を用いた反例が構成され、このような状況で Lindelöf 性質が失敗することを示している。