[論文レビュー] Observability and null-controllability for parabolic equations in $L_p$-spaces

Clemens Bombach, Dennis Gallaun+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、厚さを持つ集合における内部制御を伴う放物型方程式について、$L^p(\mathbb{R}^d)$ 上で、抽象的不確実性原理と散逸推定を組み合わせた双対性に基づくアプローチを用いて、コスト一様な近似的零可制御性および明示的な制御コストの上限を確立した。主な貢献は、$p=1$ および $p\in(1,\infty)$ への一般化であり、制御集合の幾何的性質および最終時刻 $T$ に依存する明示的な制御コストの上限を含む。これは、ヒルバート空間および非反射的 $L^1$-空間における既存結果の拡張である。

ABSTRACT

We study (approximate) null-controllability of parabolic equations in $L_p(\mathbb{R}^d)$ and provide explicit bounds on the control cost. In particular we consider systems of the form $\dot{x}(t) = -A_p x(t) + \mathbf{1}_E u(t)$, $x(0) = x_0\in L_p (\mathbb{R}^d)$, with interior control on a so-called thick set $E \subset \mathbb{R}^d$, where $p\in [1,\infty)$, and where $A$ is an elliptic operator of order $m \in \mathbb{N}$ in $L_p(\mathbb{R}^d)$. We prove null-controllability of this system via duality and a sufficient condition for observability. This condition is given by an uncertainty principle and a dissipation estimate. Our result unifies and generalizes earlier results obtained in the context of Hilbert and Banach spaces. In particular, our result applies to the case $p=1$.

研究の動機と目的

• 厚さを持つ集合における内部制御を伴う放物型方程式について、$L^p(\mathbb{R}^d)$ 上でコスト一様な近似的零可制御性を確立し、ヒルバート空間のケースを超えて展開すること。
• 初期データに依存しない一様な制御コストの上界を明示的に導出し、制御集合 $E$ の幾何的性質および最終時刻 $T$ に明示的に依存するものとする。
• ヒルバート空間における既存結果を、非反射的 $L^1$-空間の設定に一般化し、単位球内のすべての初期データに対して制御コストが一様に有界であることを示すこと。
• 双対性に基づく枠組みを構築し、元の系の零可制御性を双対系の最終状態観測可能性に結びつける。ここでは抽象的不確実性原理と散逸推定を用いる。
• 補間技術に依存せずに、$L^p$-空間（$p=1$ および $p=\infty$ を含む）への一般化を可能にするために、不確実性原理および散逸推定戦略の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 証明は双対性に依存しており、Douglasの補題を用いて、元の系の零可制御性を双対系の観測可能性に還元する。
• 最終状態観測可能性の十分条件は、抽象的不確実性原理（スペクトル不等式）と散逸推定を組み合わせることで得られ、定理 A.1 で形式化されている。
• 不確実性原理は、関数の周波数スペクトルが与えられた集合に含まれる場合に、$L^p$-ノルムが厚さ条件を満たす集合 $E$ で下から抑えられることを保証する Logvinenko–Sereda 定理により確立される。
• 散逸推定は、半群 $e^{-tA_p}$ の核に対する明示的な点ごとの境界を用いて得られ、制御集合の補集合上での半群の減衰を制御できる。
• 制御コストの上限は、定理 A.1 の不等式を繰り返し適用することで得られ、不確実性および散逸推定を組み合わせた最終状態観測可能性推定に帰着する。
• 強連続性の仮定によって以前は除外されていた $L^1$ および $L^\infty$-空間の取り扱いを可能にするために、非強連続半群に対してもこの枠組みを一般化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対空間が非反射的であり、標準的なヒルバート空間技法が失敗する $L^p(\mathbb{R}^d)$ において、$p=1$ の場合に零可制御性を確立できるか？
• RQ2 制御集合 $E$ の厚さおよび最終時刻 $T$ に依存する、明示的かつ幾何的に定量化された制御コストの上限は、どのように導出可能か？
• RQ3 補間に依存せずに、$L^2$ を超えて一般 $L^p$-空間（$p=1$ および $p=\infty$ を含む）に不確実性原理および散逸推定戦略を拡張できるか？
• RQ4 下位項を含む非自己共役かつ非コンパクトな楕円型作用素に対して、$L^p$-空間における最終状態観測可能性推定を導出できるか？
• RQ5 可測半群と抽象的作用素不等式のみを用いて、非反射的 $L^1$-空間において、零可制御性と観測可能性の双対性を厳密に確立できるか？

主な発見

• 制御集合 $E\subset\mathbb{R}^d$ が厚さを持つ（任意の立方体における密度に正の下限が存在する）場合、$L^p(\mathbb{R}^d)$ 上で $p=1$ のときコスト一様な近似的零可制御性が成立し、$p\in(1,\infty)$ のときには零可制御性が成立する。
• 制御コストの明示的上界が導出され、その界は $\exp\left(\frac{C_2}{T^{\gamma}}\right)$ の形をとり、$\gamma>0$ である。ここで $C_2$ は $E$ の厚さおよび楕円型作用素の次数 $m$ に依存する。
• 初期データのノルムが $\|x_0\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \leq 1$ を満たすすべてのものに対して、制御コストの上限が一様に成立し、双対空間が非可分である $L^1$-設定においてもロバスト性が保証される。
• 不確実性原理は Logvinenko–Sereda 定理を用いて確立され、関数 $f$ が与えられた集合に周波数スペクトルをもつ場合、$E$ 上での $L^p$-ノルムが $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}$ に対して下から抑えられることを保証する。
• 散逸推定は、半群 $e^{-tA_p}$ の核に対する境界を用いて証明され、解の質量が時間とともに $E$ の補集合上で指数的に減衰することを示し、パrameter $\gamma_3$ を用いて定量的に評価される。
• 半群の強連続性の必要性を排除することで、$L^2$-空間における既存結果を一般化し、双対空間が非反射的である $L^1$ および $L^\infty$-空間の取り扱いを可能にした。