[論文レビュー] Obstructing Sliceness in a Family of Montesinos Knots

Luke M. Williams|ArXiv.org|Sep 7, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ゲージ理論的技法、特に負定値のプレイスボーリング 4-多様体に適用されたドナルドソンの対角化定理を用いて、$m_i$, $n_i$, および $q$ に関する特定の条件下で、五つのパラメータを持つモンテシノス結び目 $M(0;[m_1+1,n_1+2],[m_2+1,n_2+2],q)$ の任意のメンバーが滑らかにスライス可能でないことを証明する。主な結果は、符号が 0 で平方行列式を持つが、依然としてスライスから遮られる無限個の部分族を構成することであり、このクラスにおけるスライス・リボン予想に対する強い反例を示唆する。

ABSTRACT

Using Gauge theoretical techniques employed by Lisca for 2-bridge knots and by Greene-Jabuka for 3-stranded pretzel knots, we show that no member of the family of Montesinos knots M(0;[m_1+1,n_1+2],[m_2+1,n_2+2],q), with certain restrictions on m_i, n_i, and q, can be (smoothly) slice. Our techniques use Donaldson's diagonalization theorem and the fact that the 2-fold covers of Montisinos knots bound plumbing 4-manifolds, many of which are negative definite. Some of our examples include knots with signature 0 and square determinant.

研究の動機と目的

• 2-ブリッジ結び目に対するリスカのゲージ理論的アプローチを、より広いクラスのモンテシノス結び目に拡張すること。
• 五つのパラメータを持つモンテシノス結び目の族のうち、どのメンバーが滑らかにスライス可能でないかを特定すること。
• 符号が 0 で行列式が平方数であるが、依然としてスライスから遮られている無限個のモンテシノス結び目の部分族を構成すること。
• モンテシノス結び目の文脈におけるスライス・リボン予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• スライスであると仮定した場合に、結び目の 2 重被覆と有理ホモロジー 4-ボールを貼り合わせて得られる、閉じた負定値 4-多様体にドナルドソンの対角化定理を適用する。
• モンテシノス結び目の 2 重被覆が、連分数テイントの構造を活用して負定値のプレイスボーリング 4-多様体を境界とするという事実を利用する。
• 結び目 $M(0;[m_1+1,n_1+2],[m_2+1,n_2+2],q)$ に関連する 4-多様体の明示的なプレイスボーリング図を構成し、その交差形式を計算する。
• 交差形式が標準的な負定値形式 $-I$ に埋め込めないという事実を、スライス性の障害として用いる。
• ゴエリッツ行列法を用いて、特に $m_1=2$, $m_2=3$, $n_2=1$, $q=-3$, および変数 $n_1$ を持つ部分族の符号と行列式を計算する。
• 再帰的数列を用いて、$26n_1 + 51$ が平方数となるような $n_1$ の無限個の値が存在することを示し、符号が 0 で行列式が平方数である結び目が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-ブリッジ結び目や 3 ストランドのプレティル結び目に用いられたゲージ理論的技法を、より広いクラスのモンテシノス結び目に拡張して、スライス性を遮ることができるか？
• RQ2 符号が 0 で行列式が平方数であるにもかかわらず、族 $M(0;[m_1+1,n_1+2],[m_2+1,n_2+2],q)$ のメンバーが滑らかにスライス可能でないものは存在するか？
• RQ3 古典的障害が消える場合でも、交差形式が $-I$ に埋め込めないという障害が、この族に残存するか？
• RQ4 符号が 0 で行列式が平方数であるが、依然として非スライスであるような無限個の部分族を構成できるか？
• RQ5 この族はスライス・リボン予想の反例を提供するか？

主な発見

• 条件 $m_i,n_i,-q\in\mathbb{N}$ および有理数項の和に関する正値性条件を満たす、族 $M(0;[m_1+1,n_1+2],[m_2+1,n_2+2],q)$ の任意のメンバーは滑らかにスライス可能でない。
• この族には、符号が 0 で行列式が平方数であるが、依然としてスライスから遮られている無限個の結び目が含まれており、古典的障害が不十分であることを示している。
• $m_1=1$, $m_2=2$, $q=-3$, および $n_1,n_2\geq1$ で $n_1$ が偶数または $n_2$ が奇数である場合、この族には無限個の非スライス結び目が含まれる。
• 結び目 $M(0;[2,n_1+2],[3,3],-3)$ のゴエリッツ行列の行列式は $26n_1 + 51$ で、すべての $n_1 \geq 1$ に対して符号が 0 であることが確認され、古典的障害が消えることが裏付けられた。
• ある $a \in \mathbb{N}$ に対して $26n_1 + 51 = a^2$ となるような無限個の部分族が存在し、これらの結び目はゲージ理論的障害により依然として滑らかにスライス可能でない。
• 8 個の成分を持つプレイスボーリングの場合、交差形式が $-I$ に埋め込めないという事実を背理法を用いて証明し、障害が成立することを確認した。