[論文レビュー] Obtaining Quality-Proved Near Optimal Results for Traveling Salesman Problem

Wenhong Tian, Huang, Chaojie+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2015

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間における対称巡回セールスマン問題（STSP）に対して、品質保証付きの近似最適解を達成するための、新規の反復的切断一般ベータ（TGB）分布アプローチを提案する。最適巡回長をTGB分布でモデル化し、反復的切断を適用することで、反復回数Kおよび形状母数α ≫ 1を用いて、(1 + ½((α+1)/(α+2))^{K-1})-近似が保証される。Kが増加するにつれて真の最適解に近づく。

ABSTRACT

The traveling salesman problem (TSP) is one of the most challenging NP-hard problems. It has widely applications in various disciplines such as physics, biology, computer science and so forth. The best known approximation algorithm for Symmetric TSP (STSP) whose cost matrix satisfies the triangle inequality (called $ riangle$STSP) is Christofides algorithm which was proposed in 1976 and is a $\frac{3}{2}$-approximation. Since then no proved improvement is made and improving upon this bound is a fundamental open question in combinatorial optimization. In this paper, for the first time, we propose Truncated Generalized Beta distribution (TGB) for the probability distribution of optimal tour lengths in a TSP. We then introduce an iterative TGB approach to obtain quality-proved near optimal approximation, i.e., (1+$\frac{1}{2}(\frac{α+1}{α+2})^{K-1}$)-approximation where $K$ is the number of iterations in TGB and $α(>>1)$ is the shape parameters of TGB. The result can approach the true optimum as $K$ increases.

研究の動機と目的

• 三角不等式下でのSTSPに対して、長年の未解決問題であるクリスティョフェイズの3/2-近似境界を改善すること。
• ユークリッド空間における対称TSPインスタンスの最適巡回長の確率分布を一般ベータ（GB）分布でモデル化すること。
• 近似誤差を体系的に低減し、真の最適解に近づく反復的TGBフレームワークを構築すること。
• 理論的性能保証を持つ閉形式の、品質保証付き近似アルゴリズムを提供すること。
• 実世界のTSPLIBインスタンスに対して本手法を検証し、LKHなどの最先端ソルバーと比較すること。

提案手法

• 対称TSPインスタンスの最適巡回長の確率密度関数として、一般ベータ（GB）分布を提案する。
• 巡回長分布の一次モーメント（平均）、二次モーメント（分散）、歪度、尖度の4つの統計的モーメントから、GB分布の4つのパラメータ（A, B, α, β）を導出する。
• GB分布の上尾部を段階的に切断することで、期待巡回長推定値を改善する反復的切断一般ベータ（TGB）手法を導入する。
• 不完全ベータ関数の超幾何関数表現を用いて、各反復における切断分布の期待値を計算する。
• 上界を反復的に更新する再帰的更新則を採用し、近似誤差を減少させる。
• K回の反復後に理論的近似比(1 + ½((α+1)/(α+2))^{K-1})を導出する。Kが増加するにつれてこの値は1に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間における最適TSP巡回長の分布を正確に表現できる確率分布モデルを構築できるか？
• RQ2 この分布に対する反復的切断プロセスが、既存のアルゴリズムよりも品質保証付きでより良い近似比を達成できるか？
• RQ3 反復回数を増やすにつれてTGB手法は真の最適解に収束するか？
• RQ4 実際のTSPLIBインスタンスにおいて、TGBの近似比はクリスティョフェイズのアルゴリズムやLKHソルバーといった既知のベンチマークと比較してどうか？
• RQ5 本手法は、品質保証付きで大規模TSPインスタンスに対しても効率的に適用可能か？

主な発見

• K回の反復後にTGB手法は理論的近似比(1 + ½((α+1)/(α+2))^{K-1})を達成し、Kが増加するにつれて1に近づくため、真の最適解に収束することが示された。
• n ≤ 600のTSPLIBインスタンスにおいて、平均して真の最適解の0.2%以内の結果が得られ、一部のケース（例：ulysses22.tspで1.1%、berlin52.tspで7.8%）を除きわずかなずれにとどまった。
• 本手法の結果は、多くのケースでLKHソルバーの出力と一致し、その正確性と信頼性を裏付けた。
• 形状母数αは巡回長分布の最初の4つのモーメントから推定され、TSPインスタンスデータから直接パラメータ化可能である。
• TGBフレームワークは、LKHなどの既存のソルバーに、反復的切断と期待値更新のコード変更を加えることで統合可能である。
• 本手法の計算複雑性は、閉形式の期待値と反復的精錬を用いるため、ChristofidesのO(n³)より低くなると予想されるが、本稿では正確な複雑性は導出されていない。