[논문 리뷰] Occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes

Ronnie Loeffen, Jean‐François Renaud외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 06.

Probability and Risk Models참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르ально 음성 레비 과정에서 첫 번째 통과 시간까지의 간격에 대한 점유 시간의 명시적 라플라스 변환을 구하며, 스케일 함수를 사용하여 결과를 닫힌 형식으로 표현한다. 주요 기여는 옵션 가격 설정 및 보험 리스크 모델, 특히 Bankruptcy 리스크에 대한 오메가 모델에서의 응용을 가능하게 하는 스케일 함수에 대한 단순화된 분석적 항등식의 집합이다.

ABSTRACT

In this paper, we identify Laplace transforms of occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes. New analytical identities for scale functions are derived and therefore the results are explicitly stated in terms of the scale functions of the process. Applications to option pricing and insurance risk models are also presented.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르ально 음성 레비 과정에 대해 첫 번째 통과 시간까지의 간격에 대한 점유 시간의 명시적 라플라스 변환을 유도한다.
• 변동 이론 계산을 단순화하는 스케일 함수에 대한 새로운 분석적 항등식을 수립한다.
• 기존의 절반선에 대한 점유 시간 결과를 유한한 간격으로 확장하여 일반성과 해석 가능성의 향상을 이룬다.
• 금융 및 보험 응용에 사용할 수 있도록 스케일 함수의 형태로 명시적 공식을 제공한다.
• 결과를 옵션 가격 설정 및 오메가 리스크 모델에 적용하며, 특히 부도 확률 계산에 중점을 둔다.

제안 방법

• 스펙트르ально 음성 레비 과정과 관련된 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 및 $ Z^{(q)} $ 이론을 사용하여 연합 라플라스 변환을 유도한다.
• 공간의 동질성과 강한 마코프 성질을 적용하여 간격을 포함하는 문제를 첫 번째 통과 문제로 축소한다.
• 위너-헌트 공식과 키프리아누(2006)의 변동 항등식을 사용하여 점유 시간을 포함하는 기댓값을 표현한다.
• 라플라스 변환의 닫힌 형식 표현을 $ \big(\tau_c^+, \tau_c^+ \textbf{1}_{(a,b)}(X_s)ds \big) $ 및 $ \big(\tau_0^-, \tau_0^- \textbf{1}_{(a,b)}(X_s)ds \big) $ 에 대해 유도한다.
• 지배 수렴 정리와 $ c \to \infty $ 에 대한 극한을 사용하여 오메가 모델에서의 무한 수명 주기 부도 확률을 분석한다.
• 스케일 함수 항등식과 $ \sigma > 0 $ 일 때 레비 측도 $ \Pi $ 및 도함수 $ W^{(q)\prime} $ 를 포함하는 적분 표현을 조합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르ально 음성 레비 과정에 대해 0 이하 또는 c 이상으로의 첫 번째 통과 시간까지의 유한 간격 (a,b) 에서의 점유 시간에 대한 명시적 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ2 스케일 함수 항등식은 어떻게 단순화되고 일반화되어 유한 간격에 대한 점유 시간을 다룰 수 있게 되는가? (특히 절반선이 아닌 경우)
• RQ3 이 결과들은 오메가 리스크 모델에 어떤 영향을 미치며, 특히 음수 간격에 머무르는 시간으로 인한 부도 확률 계산에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 첫 번째 통과 시간과 점유 시간의 연합 라플라스 변환은 어떻게 스케일 함수의 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ5 상한 경계 $ c \to \infty $ 로 갈수록 이러한 변환의 극한 행동은 어떻게 되며, 이는 부도 또는 파산 확률과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 0 또는 c에 대한 첫 번째 통과까지의 간격 (a,b) 에서의 점유 시간 라플라스 변환은 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 와 $ Z^{(q)} $ 를 통해 표현되며, 변동 항등식을 통해 명시적 공식이 도출된다.
• 첫 번째 통과 시간 $ \tau_c^+ $ 에 대해 연합 라플라스 변환은 $ W^{(q)}(x+b) $, $ Z^{(q)}(x+b) $, 그리고 $ W^{(q)} $ 및 $ Z^{(q)} $ 의 적분을 포함하는 비율로 주어지며, $ \sigma > 0 $ 일 경우 레비 측도를 포함하는 보정 항이 있다.
• 레벨 $ q $ 가 $ (-b,0) $ 에서 적용되는 오메가 모델에서의 최종 파산 확률은 $ \psi'(0+) \cdot \frac{W(x+b) + q \int_0^b W(x+b-z)W^{(q)}(z)dz}{Z^{(q)}(b)} $ 로 주어지며, $ \psi'(0+) > 0 $ 이면 확실한 파산이 보장된다.
• −b 를 침범함으로써 발생하는 파산 확률은 $ Z^{(q)} $, $ W^{(q)} $ 및 정규화된 적분을 포함하는 복잡한 표현으로 주어지며, 정규화 인자로 $ \frac{\psi'(0+) + q \int_0^b Z^{(q)}(y)dy}{Z^{(q)}(b)} $ 가 있다.
• −b,0 간격에 머무르는 동안의 파산 확률은 나머지 두 확률의 여사건로 유도되며, $ W $ 와 $ Z^{(q)} $ 의 적분을 포함하는 공식으로 표현된다.
• 이 결과들은 절반선에 대한 점유 시간 연구를 일반화하여 유한 간격을 위한 통합된 프레임워크를 제공하며, 스케일 함수를 통한 명시적 계산을 가능하게 한다.