[論文レビュー] Octal Bent Generalized Boolean Functions

Pante Stanica, Thor Martinsen|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$ℤ_2^n$ から $ℤ_8$ への八進一般化バント関数（gbent）を特徴づけ、偶数および奇数 $n$ に対して明示的な構成を提供する。gbent関数が $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ に存在するための条件として、4つの特定のブール関数がバントであり、かつそれらがクロス相関条件を満たすことを示し、代数的分解とウォルシュ＝ハダマール変換の性質を用いて新たな構成法を導出し、一般化ウォルシュ＝ハダマール変換がすべての入力に対して単位ノルムを持つことを証明する。

ABSTRACT

In this paper we characterize (octal) bent generalized Boolean functions defined on $\BBZ_2^n$ with values in $\BBZ_8$. Moreover, we propose several constructions of such generalized bent functions for both $n$ even and $n$ odd.

研究の動機と目的

• $ℤ_2^n$ 上に定義された値が $ℤ_8$ である一般化バント関数（八進gbent関数）を特徴づけること。
• 偶数および奇数 $n$ に対して八進gbent関数の明示的構成を提供すること。
• このようなgbent関数の存在に必要な十分条件を、バントブール関数およびそれらのクロス相関性質を含めて確立すること。
• 一般化バント関数の理論を二進の場合を超えて拡張するために、$ℤ_8$ 上での一般化ウォルシュ＝ハダマール変換を分析すること。

提案手法

• 本稿は、8乗根 $ζ = e^{2\pi i/8}$ を用いて定義される $ℤ_8$ 上の一般化ウォルシュ＝ハダマール変換を用い、$\mathcal{GB}_n^8$ に属する関数のスペクトル特性を分析する。
• 関数 $f: ℤ_2^n \to \mathbb{Z}_8$ を $f(\mathbf{x}) = a_0(\mathbf{x}) + 2a_1(\mathbf{x}) + 4a_2(\mathbf{x})$ の形にブール関数の和に分解する。
• 主な手法は、一般化ウォルシュ＝ハダマール変換 $\mathcal{H}_f(\mathbf{u}) = 2^{-n/2} \sum_{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}_2^n} \zeta^{f(\mathbf{x})} (-1)^{\mathbf{u} \cdot \mathbf{x}}$ を計算し、すべての $\mathbf{u}$ に対して $|\mathcal{H}_f(\mathbf{u})| = 1$ であることを要求することである。
• 変数 $y, z$ とパラメータ $\epsilon \in \{1, -1\}$ を含む特定の二次形式を用いて、4つのバントブール関数 $a, b, c, a\oplus b\oplus c$ を組み合わせることで、$\mathcal{GB}_{n+2}^8$ に新たなgbent関数を構成する。
• 関数 $f$ がgbentであるための必要十分条件として、すべての $\mathbf{u}$ に対して $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ が成り立つことを、複素ノルムおよび直交性の性質を用いて証明する。
• 係数が $\mathbb{Z}_8$ に属する線形形式にバント関数を埋め込むことで、$\mathcal{GB}_{n+1}^8$ における代替構成法を導出し、変換のノルム保存性を用いてgbent性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ブール関数 $f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_8$ がgbentであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 偶数および奇数 $n$ に対して、新しい八進gbent関数を体系的にどのように構成できるか？
• RQ3 基礎となるブール関数のクロス相関特性は、一般化ウォルシュ＝ハダマールスペクトルの平坦性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathcal{GB}_{n+2}^8$ に属するgbent関数を、特定の直交性条件を満たす4つのバントブール関数から構成できるか？
• RQ5 $\mathbb{Z}_8$ の係数を用いて最後の変数に関して線形となる関数の場合、$\mathcal{GB}_{n+1}^8$ に属するgbent関数のスペクトル的および構造的性質は何か？

主な発見

• 本稿は、$f \in \mathcal{GB}_{n+2}^8$ が $f(\mathbf{x}, y, z) = c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x})+1)y + (4b(\mathbf{x})+1)z + 2\epsilon yz$ で定義されるとき、$c$, $a\oplus c$, $b\oplus c$, および $a\oplus b\oplus c$ がすべてバントであり、かつすべての $\mathbf{u}$ に対して $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ を満たすとき、$f$ がgbentであることを証明する。
• $f \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$ が $f(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 4c(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ で定義されるとき、$f$ がgbentであるための必要十分条件は、$a$ と $c$ がともにバントブール関数であることである。
• $g \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$ が $g(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 2c(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ で定義されるとき、$f$ がgbentであるための条件は、$a$, $c$, および $a\oplus c$ がすべてバントであることである。
• $h \in \mathcal{GB}_{n+1}^8$ が $h(\mathbf{x}, y) = 4c(\mathbf{x}) + (4a(\mathbf{x}) + 2\epsilon)y$ で定義されるとき、$f$ がgbentであるための必要十分条件は、$c$ と $a\oplus c$ がともにバントであることである。
• 本稿は、$\mathcal{GB}_n^8$ に属するgbent関数の一般化ウォルシュ＝ハダマール変換が、すべての入力に対して単位ノルムを持つことを確立する。すなわち、すべての $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_2^n$ に対して $|\mathcal{H}_f(\mathbf{u})| = 1$ が成り立つ。
• キーパターン直交性条件 $W_{a\oplus c}(\mathbf{u})W_{b\oplus c}(\mathbf{u}) + \epsilon W_c(\mathbf{u})W_{a\oplus b\oplus c}(\mathbf{u}) = 0$ の解の個数は正確に8個であり、これは4つの自由度と1つの制約に対応する。