[論文レビュー] Okounkov bodies associated to pseudoeffective divisors II

Sung Rak Choi, Jinhyung Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、双有理的良いザリスキ分解を備えた擬効率的 $\mathbb{Q}$-除的の価値的および極限的 オクノフ体が、適切な旗に関して有理係数の多面体であることを確立する。これは、セクション環が有限生成でない場合でも、ザリスキ分解の仮定の下で有理多面体的性質を示すことで、アンダーソン＝クーロニャ＝ロゾヴァヌのビッグ除的に関する先行結果を拡張する。また、正の体積部分多様体およびナカヤマ部分多様体の特徴付けをオクノフ体幾何学を用いて行い、有限生成性に依存しない有理多面体的性質の幾何的基準を提供する。

ABSTRACT

We first prove some basic properties of Okounkov bodies, and give a characterization of Nakayama and positive volume subvarieties of a pseudoeffective divisor in terms of Okounkov bodies. Next, we show that each valuative and limiting Okounkov bodies of a pseudoeffective divisor which admits the birational good Zariski decomposition is a rational polytope with respect to some admissible flag. This is an extension of the result of Anderson-Küronya-Lozovanu about the rational polyhedrality of Okounkov bodies of big divisors with finitely generated section rings.

研究の動機と目的

• 擬効率的除的のナカヤマおよび正の体積部分多様体を、価値的および極限的オクノフ体を用いて特徴付けること。
• アンダーソン＝クーロニャ＝ロゾヴァヌのビッグ除的に関する有理多面体的性質の結果を、擬効率的除的へと拡張すること。
• 双有理的良いザリスキ分解の存在が、価値的および極限的オクノフ体の両方の有理多面体的構造をもたらすことを確立すること。
• セクション環の有限生成性に依存しない有理多面体的性質の幾何的基準を提供すること。
• モーリー・ドリーム空間上の例を通じて、有限生成性がなくても有理多面体的性質が成立しうることを示すこと。

提案手法

• 適切な旗を用いて、擬効率的除的の漸近的不変量を価値的および極限的オクノフ体に符号化する。
• 双有理的良いザリスキ分解の理論を適用し、極限的オクノフ体の研究を分解のネフ部分に還元する。
• ザリスキ分解が全体的に定義される被覆の上で、線形系列の一般部分集合との交わりを用いて適切な旗を構成する。
• ザリスキ分解の正の部分 $P$ が正の体積部分多様体上でネフ的かつビッグ的であるという事実を活用し、既知の多面体的オクノフ体に関する結果を適用できるようにする。
• 体積関数の連続性および半連続性を用いて、極限的オクノフ体を部分多様体上の標準的オクノフ体と関係づける。
• アンダーソン＝クーロニャ＝ロゾヴァヌの結果（セクション環が有限生成のビッグ除的は有理多面体をもつ）を、ネフ部分への還元により極限の場合へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬効率的除的の価値的オクノフ体が有理多面体である条件は何か？
• RQ2 ナカヤマおよび正の体積部分多様体は、オクノフ体を用いてどのように幾何学的に特徴付けられるか？
• RQ3 双有理的良いザリスキ分解の存在が、極限的オクノフ体の有理多面体的構造をもたらすか？
• RQ4 セクション環が有限生成でない場合でも、擬効率的ケースにおいて有理多面体的性質が成立しうるか？
• RQ5 極限的オクノフ体の次元および台と除的の数的次元の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $D$ が双有理的良いザリスキ分解を備えた擬効率的 $\mathbb{Q}$-除的であり、$Y_{\bullet}$ が適切な適切な旗であるとき、価値的オクノフ体 $\triangle^{\text{val}}_{Y_{\bullet}}(D)$ は有理多面体である。
• 同じ仮定の下で、極限的オクノフ体 $\triangle^{\text{lim}}_{Y_{\bullet}}(D)$ は、$\mathbb{R}^{\nu_{\nu}(D)} \times \mathbb{R}^{n-\nu_{\nu}(D)}_{\text{zero}}$ に含まれる次元 $\nu_{\nu}(D)$ の有理単体である。
• 適切な旗 $Y_{\bullet}$ が $D$ のナカヤマ部分多様体を含むための必要十分条件は、$\triangle^{\text{val}}_{Y_{\bullet}}(D) \not\to \mathbb{R}^{n-\nu(D)} \times \mathbb{R}^{\nu(D)}_{\text{zero}}$ であることである。
• 適切な旗 $Y_{\bullet}$ が $D$ の正の体積部分多様体を含むための必要十分条件は、$\triangle^{\text{lim}}_{Y_{\bullet}}(D)$ が $\mathbb{R}^{n-\nu_{\nu}(D)}_{\text{zero}} \times \mathbb{R}^{\nu_{\nu}(D)}$ にあり、次元が $\nu_{\nu}(D)$ であることである。
• 適切な旗の条件下で、$D$ の極限的オクノフ体は、正の体積部分多様体 $V$ に制限されたネフ部分 $P$ の標準的オクノフ体と同型である。
• セクション環が有限生成でない擬効率的 $\mathbb{Q}$-除的であっても、オクノフ体が依然として有理多面体である例が存在し、有限生成性は有理多面体的性質の必要条件でないことを示している。