[論文レビュー] Omitting Types and the Baire Category Theorem

Christopher J. Eagle, Franklin D. Tall|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、モデル理論における型省略定理と位相幾何学におけるベールのカテゴリ定理との間の正確な論理的・位相的双対性を確立し、論理が古典的型省略定理を満たすための必要十分条件が、その関連型空間がベール空間であることであることを示している。さらに、型省略性のゲーム的変種を導入し、集合論的例を用いて、このゲーム版が一般の論理において古典版よりも一貫して強く、したがってベール性だけでは一般の論理で型省略結果を保証するには不十分であることを示している。

ABSTRACT

The Omitting Types Theorem in model theory and the Baire Category Theorem in topology are known to be closely linked. We examine the precise relation between these two theorems. Working with a general notion of logic we show that the classical Omitting Types Theorem holds for a logic if a certain associated topological space has all closed subspaces Baire. We also consider stronger Baire category conditions, and hence stronger Omitting Types Theorems, including a game version. We use examples of spaces previously studied in set-theoretic topology to produce abstract logics showing that the game Omitting Types statement is consistently not equivalent to the classical one.

研究の動機と目的

• 一般論理的・位相的枠組みにおいて、型省略定理とベールのカテゴリ定理の関係を形式化すること。
• 抽象的型空間ファンクター内での、古典的、強化型、ゲーム的変種の型省略性の定義と比較を行うこと。
• 型空間のベール性が、一般論理において古典的型省略定理を保証するのに十分かどうかを調査すること。
• 集合論的位相幾何学の例を用いて、ゲーム的型省略性が古典的ものよりも厳密に強いことを示す一貫した反例を構成すること。
• これらの型省略性の違いを区別する例の記述的集合論的複雑性を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、有限順序数の圏から、連続な開写像を伴う位相空間の圏への反変ファンクターとしての型空間ファンクターを定義し、弱い合成条件を満たすものとする。
• 与えられた位相空間 $X$ に対して、その $1$-型空間が $X$ であるような型空間ファンクターを構成することで、論理を定義し、位相的性質を論理的性質に翻訳可能にする。
• ベールのカテゴリおよびバナッハ＝マゾールゲームの条件に基づき、型空間上で、古典的（OTT）、強化型（sOTT）、ゲーム的（gOTT）の三つの型省略性を定義する。
• 集合論的位相幾何学の既知の例（例えば、非ベール空間である平方をもつベール空間、またはカントール集合における $oldsymbol{ u}$-集合の補集合）を用いて、ベール性は成立するが古典的OTTは成立しないような型空間ファンクターを構成する。
• 特に、可算積および開部分空間における共解析的性の保存に関する記述的集合論の結果を応用し、共解析的型空間ではゲーム的型省略性と強化型型省略性が一致することを示す。
• 強制法および独立性の結果を用いて、ゲーム的型省略性が、空間がベール空間であっても、古典的ものと一貫して同値でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型空間ファンクターにどのような位相的条件が成立すれば、古典的型省略定理が成立するか？
• RQ2 型空間がベール空間であれば、与えられた非主型を省略するモデルの存在が保証されるか？
• RQ3 ある論理的体系において、ゲーム的変種の型省略性が古典的ものよりも厳密に強いか？
• RQ4 ゲーム的型省略性と古典的型省略性を区別することができるトップスの記述的集合論的複雑性は何か？
• RQ5 ゲーム的型省略性と強化型型省略性を分離する定義可能な（例えば、共解析的または射影的）例は存在するか？

主な発見

• 論理が古典的型省略定理を満たすための必要十分条件は、その関連型空間がベール空間であることである。
• ゲーム的型省略性は、古典的ものよりも厳密に強い。具体的には、$X$ がベール空間だが $X^ u$ がベール空間でないようなベール空間 $X$ を構成することで、ゲーム的性質は成立するが古典的性質は成立しない論理を示している。
• 一貫した反例が存在する。具体的には、カントール集合における $ u$-集合の補集合から導かれる型空間ファンクターであり、空間はベール空間だが古典的型省略定理は成立しない。
• 共解析的型空間では、ゲーム的型省略性と強化型型省略性が同値である。これは、完全にベール的な共解析的集合が完全に距離化可能であるという事実に起因する。
• このような反例の存在はZFCと一貫しており、非可縮なメンガー型フィルター（例えば、フレシェフィルターを拡張する非可縮なメンガー型フィルター）を用いて構成可能である。
• これらの結果は、型空間の記述的集合論的複雑性（例えば、共解析的または射影的）が、より強い型省略性が成立するかどうかを決定する上で中心的な役割を果たす可能性を示唆している。