[論文レビュー] On a class of fully nonlinear elliptic equations on Hermitian manifolds

Bo Guan, Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非キーラー多様体上の完全非線形楕円型方程式のクラスについて、複素モンジュ・アンペール型の形式をとる、a priori C² 評価を確立し、下位解の存在を仮定することで、境界を持つ場合のディリクレ問題に対する滑らかな適切解の存在と一意性を証明する。主な貢献は、計量に torsion が存在しても、任意の有界領域にまで拡張可能な、新しい2階境界評価の確立であり、非キーラー多様体上での完全非線形方程式理論における長年の欠落を解消する。

ABSTRACT

We derive a priori $C^2$ estimates for a class of complex Monge-Ampere type equations on Hermitian manifolds. As an application we solve the Dirichlet problem for these equations under the assumption of existence of a subsolution; the existence result, as well as the second order boundary estimates, is new even for bounded domains in $\bfC^n$.

研究の動機と目的

• ヘルミート多様体上での完全非線形楕円型方程式のクラスについて、境界を伴う a priori C² 評価を確立すること。
• ℂⁿ 内の任意の滑らかな有界領域において、これらの方程式のディリクレ問題を解くこと、非キーラー設定を含む。
• Kähler および強擬凸の場合を越えて、非自明な torsion が存在する状況においても2階境界評価を拡張すること。
• 厳密な凸性や Kähler 構造を要件としない、下位解の存在のみを仮定したディリクレ問題の新たな存在結果を提供すること。

提案手法

• 解のヘッセ行列と下位解を含む巧みな補助関数を用いた最大原理の応用により、a priori C² 評価を導出する。
• 境界挙動を制御するため、距離関数と下位解を含むバリア関数を用いた摂動法を適用する。
• 演算子 G[𝑔𝑖𝑗̄] = 𝑆𝛼−1;𝑖(𝑔𝑙𝑙̄)²𝑔𝑖𝑗̄ において、𝑆𝛼−1;𝑖 を固有値の初等対称関数として定義する、複素ヘッセ構造を用いる。
• 𝜙 = 𝑒^{𝐴𝜂} とおき、𝜂 = 𝑢̲ − 𝑢 + sup(𝑢 − 𝑢̲) を導入することで、torsion に起因する3階項を制御する下位解技術を実装する。
• 境界での法方向2階微分を制御するため、𝐴𝑣 + 𝐵𝜌² + Φ − |(𝑢 − 𝜑)𝑦𝑛|² の形のバリア関数を用いる。
• 特に torsion 項 𝑇𝑙𝑖𝑗 を含む複素ヘッセ構造と曲率項の性質に依存し、非キーラー幾何における一様な評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な torsion を持つヘルミート多様体上での完全非線形楕円型方程式の複素モンジュ・アンペール型に対して、2階境界評価を確立できるか？
• RQ2 下位解の存在が、強擬凸でない任意の有界領域においても、ℂⁿ 内のディリクレ問題に対する滑らかな解の存在を保証するのに十分か？
• RQ3 従来の 𝛼 = 1 および 𝛼 = 𝑛−1 の場合を越えて、2 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛−2 の全範囲にわたって2階評価を拡張できるか？
• RQ4 一般のヘルミート多様体上では、計量や形式が Kähler でない場合でも、これらの方程式のディリクレ問題が解けるか？
• RQ5 下位解技術を用いて、キーラーの場合と同様に、0階および2階評価を非キーラー設定へ拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、ヘルミート多様体上での方程式 𝜒𝑢ⁿ = 𝜓𝜒𝑢ⁿ⁻ᵃ ∧ 𝜔ᵃ の適切解について、境界まで含めた a priori C² 評価を確立する。
• 下位解の存在を仮定することで、多様体に非自明な torsion が存在し、領域が任意の滑らかな有界領域であっても、2階境界評価が成立することを証明する。
• 下位解の存在を仮定した場合、方程式 (1.1)–(1.2) のディリクレ問題に対して、滑らかな適切解が一意に存在することを確立する。これは、ℂⁿ 内の有界領域に対しても、新規な結果である。
• 主要評価 (1.4) は、∂𝑀 上での |∇²𝑢| を、|𝑢|_{𝐶¹}、min 𝜓⁻¹、|𝑢̲|_{𝐶²}、および 𝑐₁𝜒𝑢̲ ≥ 𝜔 を満たす定数 𝑐₁ に依存する定数で上から抑える。
• 下位解と巧みな補助関数を用いることで、torsion に起因する3階項を効果的に制御し、非キーラー幾何における主要な技術的障壁を克服する。
• 従来の複素モンジュ・アンペール方程式に関する研究を拡張し、ヘルミート多様体上での完全非線形方程式の広いクラスへ、下位解法を一般化する。