[論文レビュー] On a Class of Polynomials with Integer Coefficients

Milan Janjić|ArXiv.org|Apr 12, 2008

Mathematical functions and polynomials参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、整数係数をもつ多項式 $P_{n,m,p}(x)$ のクラスを導入し、ブロック集合における包含除算法を用いた組合せ的解釈を確立する。$P_{n,2,2}(x)$ を $P_n(x)$ と表記すると、これはチェビシェフ多項式と同じ三項再帰関係を満たし、三角関数を用いて表現可能であり、直交性および $[-1,1]$ 上の零点分布が明らかになる。主たる貢献は、二種類目のチェビシェフ多項式の係数に関して、二項係数の和を用いた閉形式の公式を導出することにある。

ABSTRACT

A class P_{n,m,p}(x) of polynomials is defined. The combinatorial meaning of its coefficients is given. Chebyshev polynomials are the special cases of P_{n,m,p}(x). It is first shown that P_{n,m,p}(x) may be expressed in terms of P_{n,0,p}(x). From this we derive that P_{n,2,2}(x) may be obtain in terms of trigonometric functions, from which we obtain some of its important properties. Some questions about orthogonality are also concerned. Furthermore, it is shown that P_{n,2,2}(x) fulfills the same three terms recurrence as Chebyshev polynomials. Some others recurrences for P_{n,m,p}(x) and its coefficients are also obtained. At the end a formula for coefficients of Chebyshev polynomials of the second kind is derived.

研究の動機と目的

• ブロック集合における組合せ的包含除算法に基づき、整数係数をもつ新しい多項式クラス $P_{n,m,p}(x)$ を定義・分析すること。
• $P_{n,m,p}(x)$ と古典的直交多項式、特に第一種および第二種チェビシェフ多項式との関係を確立すること。
• $P_{n,2,2}(x)$ についての再帰関係および三角関数的表現を導出し、チェビシェフ多項式と同様に直交性や零点分布といった主要な性質を共有することを示すこと。
• 二項係数の和を用いた新しい閉形式表現を用いて、第二種チェビシェフ多項式の係数を明示的に求める。

提案手法

• 組合せ的関数 $f(n,k,m,p)$ を用いて、ブロックと交差する部分集合の数を数えることにより、係数 $c(n,k,m,p)$ を導出し、$P_{n,m,p}(x)$ を定義する。
• 二項変換および母関数の操作を用いて、$P_{n,m,p}(x)$ を $P_{n,0,p}(x)$ の形に還元する還元公式を証明する。
• 三角恒等式 $P_n( an\theta) = -\sin\theta \sin(n-1)\theta$ を確立し、$P_n(x)$ を正弦関数と関連付ける。
• チェビシェフ多項式の第二種と同一の三項再帰関係を $P_n(x)$ が満たすことを導出する。
• $(1-x^2)^{1/2}$、$(1-x^2)^{3/2}$、$1$ などのさまざまなジャコビ重み関数のもとで $P_n(x)$ の直交性を調査し、明示的な内積を計算する。
• 組合せ的関数 $f(n,k,m,p)$ から得られる再帰関係を、$P_{n,m,p}(x)$ の係数に関する恒等式に変換し、係数の再帰的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック集合における組合せ的包含除算法を用いて、整数係数をもつ多項式クラスを体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 $P_{n,2,2}(x)$ は、再帰関係、零点分布、直交性といった主要な構造的性質を、チェビシェフ多項式から継承するのか？
• RQ3 $P_{n,2,2}(x)$ は閉形式の三角関数表現をもつのか？ その場合、その根や極値にどのような意味があるのか？
• RQ4 組合せ的枠組みから導かれる、第二種チェビシェフ多項式の係数の明示的公式は何か？
• RQ5 $P_{n,m,p}(x)$ の係数と第二種チェビシェフ多項式の係数との関係は何か？ また、それらは再帰的に計算可能か？

主な発見

• 多項式 $P_n(x) = P_{n,2,2}(x)$ は、第二種チェビシェフ多項式と同じ三項再帰関係 $P_n(x) = 2xP_{n-1}(x) - P_{n-2}(x)$ を満たし、初期条件は $P_0(x) = x^2$、$P_1(x) = 2x^3 - x$ である。
• $P_n(\tan\theta) = -\sin\theta \sin(n-1)\theta$ が成り立ち、$P_n(x)$ の完全な三角関数的特徴付けが得られ、これによりすべての根が $[-1,1]$ 内にあり、すべて単一であることが示される。
• $P_n(x)$ は $[-1,1]$ 内に正確に $n$ 個の単一の実根をもち、$x = \pm 1$ を含む。残りの $n-2$ 個の根は $k=1,2,\dots,n-2$ に対して $x_k = \cos\frac{k\pi}{n-1}$ である。
• $n \geq 3$ のとき、すべての $x \in [-1,1]$ に対して不等式 $P_n(x)^2 + x^2 \leq 1$ が成り立ち、多項式の値が単位円板内に収束していることを示している。
• $(1-x^2)^{1/2}$ という重み関数のもとで、内積 $\int_{-1}^1 (1-x^2)^{1/2} P_n(x) P_m(x) dx$ は $|n-m| \in \{0,2,4\}$ でなければゼロであり、$n=m$、$|n-m|=2$、$|n-m|=4$ のそれぞれに対して、値 $\frac{5\pi}{32}$、$-\frac{15\pi}{128}$、$\frac{3\pi}{64}$ が得られる。
• 第二種チェビシェフ多項式の係数 $c(n,k)$ について、新しい閉形式の公式が導出された：$c(n,k) = (-1)^{(n-k)/2} \sum_{i=0}^{k} \binom{(n+k)/2}{i} \binom{(n+k)/2 - i}{(n-k)/2}$ であり、$n$ と $k$ が同じ偶奇性を持つ場合に有効で、それ以外の場合はゼロである。