[論文レビュー] On a class of $q$-Bernoulli, $q$-Euler and $q$-Genocchi polynomials

Nazım I. Mahmudov, Mohammad Momenzadeh|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$q$-微積分形式を用いて、$q$-ベルヌーイ、$q$-オイラー、$q$-ジェノッキー多項式の統一的クラスを導入し、スリバスタヴァ–パインターにインspiredされた$q$-加法定理を含む、古典的恒等式の$q$-類似を導出する。主な貢献は、$q$-二項係数および$q$-スターリング数を介して$q$-ジェノッキー多項式と$q$-ベルヌーイ多項式を結ぶ、新しい$q$-加法演算と明示的な関係式の確立である。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to introduce and investigate a class of $q$-Bernoulli, $q$-Euler and $q$-Genocchi polynomials. The $q$-analogues of well-known formulas are derived. The $q$-analogue of the Srivastava--Pintér addition theorem is obtained. Some new identities involving $q$-polynomials are proved.

研究の動機と目的

• $q$-微積分を用いて、$q$-ベルヌーイ、$q$-オイラー、$q$-ジェノッキー多項式の統一的枠組みを構築すること。
• スリバスタヴァ–パインターの加法定理のような古典的多項式恒等式を、$q$-類似の設定に一般化すること。
• $q$-二項係数および$q$-スターリング数の構造を通じて、$q$-ジェノッキー多項式と$q$-ベルヌーイ多項式の間の新しい関係を確立すること。
• $q$-指数関数$\mathcal{E}_q(z)$に基づいて、新しい$q$-加法演算$x \oplus_q y$を定義し、これにより新しい母関数恒等式を導出すること。

提案手法

• $q$-シフト階乗、$q$-数、$q$-階乗、$q$-二項係数といった古典的特殊関数の$q$-類似を定義する。
• $\mathcal{E}_q(tx)\mathcal{E}_q(ty) = \sum_{n=0}^\infty (x \oplus_q y)^n \frac{t^n}{[n]_q!}$ によって、新しい$q$-加法演算$x \oplus_q y$を生成関数を用いて導入する。
• $q$-指数関数$\mathcal{E}_q(z) = e_q(z/2)E_q(z/2)$を用いて、$q$-多項式の母関数を定義する。
• 生成関数の操作と$q$-二項展開を用いて、スリバスタヴァ–パインターの加法定理の$q$-類似を導出する。
• $q$-スターリング数の第二種$\left\{ \begin{array}{c} k \\ j \end{array} \right\}_q$を用いて、多項式の合成および畳み込み恒等式を表現する。
• $q$-生成関数のべき級数展開における係数比較により、再帰的および変換恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$q$-微積分の枠組みにおいて、$q$-ベルヌーイ、$q$-オイラー、$q$-ジェノッキー多項式を一貫的に統一できるか？
• RQ2 $q$-多項式におけるスリバスタヴァ–パインターの加法定理の$q$-類似は何か？
• RQ3 $q$-ジェノッキー多項式と$q$-ベルヌーイ多項式は、$q$-二項係数および$q$-スターリング数の構造を通じてどのように関連しているか？
• RQ4 $q$-指数関数$\mathcal{E}_q(z)$から導かれる新しい$q$-加法演算$x \oplus_q y$は何か？そして、これは古典的加法をどのように一般化するか？

主な発見

• 本稿では、$q$-加法演算$x \oplus_q y$を用いて、スリバスタヴァ–パインターの加法定理の$q$-類似を導出する。ここで$x \oplus_q y$は、$\mathcal{E}_q(tx)\mathcal{E}_q(ty) = \sum_{n=0}^\infty (x \oplus_q y)^n \frac{t^n}{[n]_q!}$ によって定義される。
• 新しい$q$-加法演算$x \oplus_q y$は、$\sum_{k=0}^n \left[\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_k(-1,q)_{n-k}}{2^n} x^k y^{n-k}$ として定義され、古典的多項式加法を一般化する。
• $q$-ジェノッキー多項式と$q$-ベルヌーイ多項式は、$q$-二項係数および$q$-スターリング数を含む畳み込み恒等式によって関連づけられる：$\mathfrak{G}_{n,q}(x,y) = \frac{1}{[n+1]_q} \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{m^{n-k}} \left[\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right]_q \left( \sum_{j=0}^k \left[\begin{array}{c}k \\ j\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_{k-j}}{m^{k-j}2^{k-j}} \mathfrak{G}_{j,q}(x) - \mathfrak{G}_{k,q}(x) \right) \mathfrak{B}_{n+1-k,q}(my)$。
• $q$-ベルヌーイ多項式に対しても同様の恒等式が確立される：$\mathfrak{B}_{n,q}(x,y) = \frac{1}{2[n+1]_q} \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{m^{n-k}} \left[\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right]_q \left( \sum_{j=0}^k \left[\begin{array}{c}k \\ j\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_{k-j}}{m^{k-j}2^{k-j}} \mathfrak{B}_{j,q}(x) + \mathfrak{B}_{k,q}(x) \right) \mathfrak{G}_{n+1-k,q}(my)$。
• $\mathcal{E}_q(z)$の生成関数は、$q$-加法および$q$-減法演算を定義する新しい$q$-指数構造を導き、古典的多項式恒等式を拡張する。