[論文レビュー] On a class of translation-invariant spaces of quasianalytic ultradistributions

Павел Димовски, Bojan Prangoski+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、以前の緩やかでないおよび非擬解析的超局所分布に関する研究を一般化する、新しいクラスの擬解析的超局所分布の平行移動不変バナッハ空間を導入し、その性質を研究する。関連する試験関数空間 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 及びその強い双対 $\mathcal{D}^{\bullet}_{E^\prime}$ を構成することで、畳み込みおよび乗法的積の構造を確立し、指数的成長重みを伴うフーリエ超関数や超超関数を含む擬解析的設定への結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

A class of translation-invariant Banach spaces of quasianalytic ultradistributions is introduced and studied. They are Banach modules over a Beurling algebra. Based on this class of Banach spaces, we define corresponding test function spaces $\\mathcal{D}^*_E$ and their strong duals $\\mathcal{D}'^*_{E'_{\\ast}}$ of quasianalytic type, and study convolution and multiplicative products on $\\mathcal{D}'^*_{E'_{\\ast}}$. These new spaces generalize previous works about translation-invariant spaces of tempered (non-quasianalytic ultra-) distributions; in particular, our new considerations apply to the settings of Fourier hyperfunctions and ultrahyperfunctions. New weighted $\\mathcal{D}'^{\\ast}_{L^{p}_{\\eta}}$ spaces of quasianalytic ultradistributions are analyzed.

研究の動機と目的

• 超局所分布の平行移動不変バナッハ空間の理論を、擬解析的設定へ拡張すること。
• 擬解析的超局所分布のための試験関数空間 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 及びその強い双対 $\mathcal{D}^{\bullet}_{E^\prime}$ を定義し、それらを研究すること。
• $\mathcal{D}^\prime_{L^p_\eta}$ 及び $\mathcal{B}^\prime_\eta$ の重み付き空間を、超多項式的有界重みを伴う擬解析的状況へ一般化すること。
• $\mathcal{D}^{\prime}_{E^\prime}$ 上で連続的および擬連続的畳み込みおよび乗法的積を確立すること。
• 結果を、指数的重み成長を伴う場合を含む、擬解析的超関数および超超関数に応用すること。

提案手法

• クラス $\dagger$ の超多項式的有界重み関数を伴う、$\mathcal{S}^{*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d) \hookrightarrow E \hookrightarrow \mathcal{S}^{\prime*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d)$ を満たす平行移動不変バナッハ空間 $E$ を構成する。
• 試験関数空間 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ を $\mathcal{S}^{*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d)$ の部分空間として定義し、$E$ への稠密かつ連続的埋め込みを持つようにする。
• $\mathcal{D}^{*}_{E}$ が、$E$ の平行移動群の重み $\omega$ を持つブルン・代数 $L^1_\omega$ 上の位相的モジュールであることを証明する。
• パラメトリックス法（補題 2.2）を用いて、$\mathcal{D}_{E}$ の強い双対 $\mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ の構造的および位相的性質を導出する。
• 擬解析的列および指数的成長重みを伴う新しい重み付き空間 $\mathcal{D}^{\prime\ast}_{L^p_\eta}$、$\mathcal{B}^{\prime\ast}_\eta$、および $\dot{\mathcal{B}}^{\prime\ast}_\eta$ を導入し、それらを分析する。
• 連続性および擬連続性の議論を用いて、非擬解析的状況から擬解析的状況への畳み込みおよび乗法的積に関する結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、擬解析的超局所分布の平行移動不変バナッハ空間を体系的に構成し、特徴づけることができるか？
• RQ2 試験関数空間 $\mathcal{D}^{*}_{E}$ 及びその強い双対 $\mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ の構造的および位相的性質は何か？
• RQ3 擬解析的設定下で、$\mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ 上での畳み込みおよび乗法的積はどのように振る舞うか？
• RQ4 重み付き $\mathcal{D}^\prime_{L^p_\eta}$ 及び $\mathcal{B}^{\prime}_\eta$ 空間の理論は、指数的重みを伴う擬解析的超局所分布へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 パラメトリックス法は、擬解析的状況における双対性および埋め込み結果を示すために適合可能か？

主な発見

• $\mathcal{D}^{*}_{E}$ は、$E$ の平行移動群の重み関数 $\omega$ を持つブルン・代数 $L^1_\omega$ 上の位相的モジュールである。
• $\mathcal{S}^{*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d) \hookrightarrow \mathcal{D}^{*}_{E} \hookrightarrow E \hookrightarrow \mathcal{S}^{\prime*}_{\dagger}(\mathbb{R}^d)$ の稠密埋め込みが成り立ち、$\mathcal{D}^{*}_{E}$ は $\mathcal{O}^{*}_{\dagger,C}(\mathbb{R}^d)$ に稠密に埋め込まれる。
• ルーメイの場合、$\mathcal{D}^{*}_{E}$ と $\tilde{\mathcal{D}}^{*}_{E}$ は位相的に同値であり、すなわち $\mathcal{D}^{*}_{E} = \tilde{\mathcal{D}}^{*}_{E}$ である。
• $\dot{\mathcal{B}}^{(M_p)}_{\eta}$ は区別された空間である。これは、その強い双対の任意の有界集合が、弱位相における $\dot{\mathcal{B}}^{(M_p)}_{\eta}$ の有界集合の閉包に含まれることを意味する。
• 畳み込み写像 $\ast: \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \times \mathcal{D}^{*}_{L^1_{\check{\omega}}} \to \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ 及び $\ast: \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \times \mathcal{O}^{\prime*}_{\dagger,C,b} \to \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime}$ は連続である。
• $E$ が反射的であるとき、畳み込み $\ast: \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \times \mathcal{D}^{*}_{\check{E}} \to \dot{\mathcal{B}}^{*}_{\omega}$ は連続であり、埋め込み $\mathcal{D}^{\prime*}_{L^1_{\check{\omega}}} \hookrightarrow \mathcal{D}^{\prime*}_{E^\prime} \hookrightarrow \dot{\mathcal{B}}^{\prime*}_{\omega}$ が成り立つ。