[論文レビュー] On a Conjecture of a Bound for the Exponent of the Schur Multiplier of a Finite $p$-Group

Behrooz Mashayekhy, Azam Hokmabadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、クラス $k$ および指数 $p^e$ の有限 $p$-群 $G$ の $c$-冪零被覆 $M^{(c)}(G)$ の指数に関する新たな上界を確立する。$ \exp(M^{(c)}(G))$ が $\exp(G) \cdot p^{m(k-1)}$ を割ることを証明し、$m = \lfloor \log_p k \rfloor$ である。これは、特定の条件下でジョーンズ、エリス、モラベックの先行結果を改善し、クラスが $p-1$ 以下のすべての $p$-群に対して $\exp(M(G))$ が $\exp(G)$ を割ることを確認するという予想を裏付ける。

ABSTRACT

Let $G$ be a $p$-group of nilpotency class $k$ with finite exponent $\exp(G)$ and let $m=\lfloor\log_pk floor$. We show that $\exp(M^{(c)}(G))$ divides $\exp(G)p^{m(k-1)}$, for all $c\geq1$, where $M^{(c)}(G)$ denotes the c-nilpotent multiplier of $G$. This implies that $\exp(M(G))$ divides $\exp(G)$ for all finite $p$-groups of class at most $p-1$. Moreover, we show that our result is an improvement of some previous bounds for the exponent of $M^{(c)}(G)$ given by M. R. Jones, G. Ellis and P. Moravec in some cases.

研究の動機と目的

• 有限 $p$-群の $c$-冪零被覆 $M^{(c)}(G)$ の指数に関する既存の上界をより精緻にすること。
• シュール被覆 $M(G)$ の指数が群 $G$ の指数を割ること、すなわち長年の予想が成り立つかを調査すること。
• ジョーンズ（$\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{k-1}$）、エリス（$\exp(M^{(c)}(G)) \mid \exp(G)^{\lceil k/2 \rceil}$）、モラベック（$\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{2\lfloor \log_2 k \rfloor}$）の先行結果を改善すること。
• 特に $p$-群のクラス $\leq p-1$ の場合に、予想 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)$ が成り立つ条件を確立すること。
• 直接積分解法およびシローファクターを用いて、結果を一般の冪零群に一般化すること。

提案手法

• 群 $G = F/R$ の自由提示を用い、$M^{(c)}(G)$ を $\gamma_{c+1}(F)/[R,{}_cF]$ として表現し、群の交換子恒等式を活用する。
• 基本交換子理論およびホール＝ウット恒等式を用い、群の元のべきを基本交換子の積に分解する。
• 補題 2.2（冪零群におけるべき展開）を用い、$g^\alpha$ を基本交換子のべきと補正項の積として表現する。
• 補題 2.5 を用い、補正項の指数 $f_i(\alpha)$ を評価し、$\alpha = p^{e + m(k-1)}$ の仮定のもとで、$p^{e + m(k-2)}$ で割り切れることが示される。
• 帰納法および $[R,{}_cF]$ の群論的性質を応用し、$g^\alpha \in [R,{}_cF]$ を示し、指数が $p^{e + m(k-1)}$ を割ることを証明する。
• 直接積の被覆に関する既知の定理と組み合わせ、一般の冪零群への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限 $p$-群 $G$ のクラス $k$ に対して、$c$-冪零被覆 $M^{(c)}(G)$ の指数を、先行研究よりもより厳密に上界で抑えられるか？
• RQ2 $\exp(M(G))$ が $\exp(G)$ を割る条件は何か？特に $p$-群のクラス $\leq p-1$ の場合に成り立つか？
• RQ3 新しい上界 $\exp(M^{(c)}(G)) \mid \exp(G) \cdot p^{\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)}$ は、ジョーンズの $\exp(G)^{k-1}$、エリスの $\exp(G)^{\lceil k/2 \rceil}$、モラベックの $\exp(G)^{2\lfloor \log_2 k \rfloor}$ と比べてどのように異なるか？
• RQ4 予想 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)$ は、クラスが $p-1$ 以下のすべての $p$-群に対して成り立つか？
• RQ5 シローファクター分解および被覆の分解定理を用いて、結果を一般の有限冪零群に拡張できるか？

主な発見

• すべての $c \geq 1$ に対して、$M^{(c)}(G)$ の指数は $\exp(G) \cdot p^{m(k-1)}$ を割り、ここで $m = \lfloor \log_p k \rfloor$ である。
• この上界は、$\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)/k < e$ である場合、すなわち指数 $p^e$ でクラス $\leq p^e - 1$ の $p$-群に対して、ジョーンズの結果 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{k-1}$ よりも改善される。
• この上界は、$\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)/\lceil k/2 \rceil - 1 < e$ である場合、特に $k < p^{e/3}$（$k \geq 3$）または $k < p^{e/4}$（$k \geq 4$）のとき、エリスの結果 $\exp(M^{(c)}(G)) \mid \exp(G)^{\lceil k/2 \rceil}$ よりも改善される。
• この上界は、$\lfloor \log_p k \rfloor (k-1)/(2\lfloor \log_2 k \rfloor) - 1 < e$ である場合、特に $k < e$（$k \geq 2$）のとき、モラベックの結果 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)^{2\lfloor \log_2 k \rfloor}$ よりも改善される。
• クラスが $p-1$ 以下のすべての有限 $p$-群に対して、予想 $\exp(M(G)) \mid \exp(G)$ が成り立つことが、補題 3.4 により示された。
• 一般の有限冪零群 $G$ でクラス $k$ であるとき、$k \leq \max\{p_i - 1\}$（$|G|$ の素因数 $p_i$ に対して）が成り立つならば、被覆の積分解により、この予想が成り立つ。