[論文レビュー] On a conjecture of Hacon and McKernan in dimension three

A. T. Ringler|ArXiv.org|Aug 27, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、複素数体ℂ上の滑らかでかつ有理的でない3次元代数的多様体Xで、Kodaira次元が非負であるものについて、|rK_X| がすべての r ≥ r₃ および十分に可除な r に対してイタカのファイブレーションに双有理的であることを証明している。これは、次元3におけるHaconとMcKernanの予想を確認するものである。証明は、標準バンドルの公式と、曲面上のReiderの定理を用い、明示的な境界を提示する。κ(X) = 2 のとき、r₃ = 48 で十分であり、r が12で割り切れることが必要である。

ABSTRACT

We prove that there exists a universal constant $r_3$ such that if $X$ is a smooth projective threefold over $\mathbb{C}$ with non-negative Kodaira dimension, then the linear system $|r K_X|$ admits a fibration that is birational to the Iitaka fibration as soon as $r \geq r_3$ and sufficiently divisible. This gives an affirmative answer to a conjecture of Hacon and McKernan in the case of threefolds. Viehweg and Zhang have posted a stronger result along these lines using different methods.

研究の動機と目的

• 次元3かつ κ(X) ≥ 0 のとき、|rK_X| がすべての r ≥ r₃ および十分に可除な r に対してイタカのファイブレーションに双有理的であるような、普遍定数 r₃ の存在に関するHaconとMcKernanの予想を証明すること。
• r の可除性に関する要件が X に依存せず、r₃ の有効的な計算可能性を保証するように、その境界を独立に与えること。
• κ(X) = 2 の場合における r₃ の明示的境界を提示し、一様な可除性条件のもとで達成可能であることを示すこと。

提案手法

• Fujino, Hacon, McKernan, Moriらの既知の結果を用いて、問題を κ(X) = 2 の場合に還元する。
• 双有理的変形を用いて、φ_r: X → S_r が曲面 S_r 上の楕円ファイブレーションであると仮定する。
• FujinoとMoriの標準バンドルの公式を適用し、S_r 上の Q-因子 D に対して、K_{S_r} + D の正性を調べることに問題を還元する。
• S_r のKodaira次元に基づいて2つの場合に分ける：κ(S_r) ≥ 0 および κ(S_r) = -∞ の場合。
• κ(S_r) ≥ 0 の場合、K_{S_r} + D - Δ に対してReiderの定理またはその一般化を適用する。ここで Δ は有効でかつsnc（単純な交差）な Q-因子である。
• κ(S_r) = -∞ の場合、(r-1)K_{S_r} + rL_r + ⌊rΔ⌋ がルールド曲面 S_r 上でnef（擬正）であることを示し、その後Reiderの定理を適用して双有理性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかで有理的でない3次元代数的多様体 X に対して、κ(X) ≥ 0 ならば、すべての r ≥ r₃ および十分に可除な r に対して |rK_X| がイタカのファイブレーションに双有理的であるような普遍定数 r₃ が存在するか？
• RQ2 r の可除性条件が X に依存せず、r₃ の有効的な計算可能性を保証できるように、その境界を独立に与えることができるか？
• RQ3 κ(X) = 2 の場合における r₃ の明示的境界は何か？ また、一様な可除性条件のもとで達成可能か？

主な発見

• HaconとMcKernanの予想は次元3で成立する：すべての r ≥ r₃ および十分に可除な r に対して |rK_X| がイタカのファイブレーションに双有理的であるような普遍定数 r₃ が存在する。
• κ(X) = 2 の場合、r が12で割り切れるならば r₃ = 48 で十分であり、この条件は有効的に計算可能である。
• r の可除性要件は X に依存せず、κ(X) ≥ 0 を満たすすべての3次元多様体に対して r₃ が有効的に計算可能であることを保証する。
• 証明により、r ≥ 48 かつ12で割り切れるとき、(r-1)K_{S_r} + rL_r + ⌊rΔ⌋ が曲面 S_r 上でnefであることが示され、これによりReiderの定理の適用が可能になる。
• κ(X) = 3 の場合、論文で引用された先行結果により r₃ = 77 で十分である。
• すべての κ(X) ∈ {0,1,2,3} に対して有効的であり、それぞれのケースについて明示的境界または有効的な計算可能性が確立されている。