[論文レビュー] On a diffuse interface model for tumour growth with non-local interactions and degenerate mobilities

Sergio Frigeri, Kei Fong Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非局所的相互作用カーネルを用いて古典的なギンツブルク＝ランダウエネルギーを置き換える非局所的拡散界面モデルを、縮退する移動度と特異的ポテンシャルを伴って、腫瘍成長に適用する。弱解の適切な定義を、縮退する移動度と特異的ポテンシャルの下で確立し、追加の仮定の下で初期データへの連続的依存性を証明する。これにより、物理的に妥当な制約を課した非局所的設定に、先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We study a non-local variant of a diffuse interface model proposed by Hawkins--Darrud et al. (2012) for tumour growth in the presence of a chemical species acting as nutrient. The system consists of a Cahn--Hilliard equation coupled to a reaction-diffusion equation. For non-degenerate mobilities and smooth potentials, we derive well-posedness results, which are the non-local analogue of those obtained in Frigeri et al. (European J. Appl. Math. 2015). Furthermore, we establish existence of weak solutions for the case of degenerate mobilities and singular potentials, which serves to confine the order parameter to its physically relevant interval. Due to the non-local nature of the equations, under additional assumptions continuous dependence on initial data can also be shown.

研究の動機と目的

• 局所的なギンツブルグ＝ランダウエネルギーを、対称的カーネル $ J $ に基づく非局所的相互作用エネルギーに置き換えることにより、拡散界面腫瘍成長モデルの非局所的変種を構築すること。
• 移動度が縮退し、ポテンシャルが特異的である条件の下で、系の適切な定義を分析すること。これにより、順序パラメータが物理的に妥当な区間 $[-1,1]$ に制限される。
• 栄養移動や細胞接着に起因する拡散項を含む非局所的カーン＝ヒルヤール系への、存在性および連続的依存性の結果を、局所的設定から非局所的設定へと拡張すること。
• 非局所的設定において、追加の正則性仮定の下で、初期データへの連続的依存性を証明すること。非局所作用素の構造を活用する。

提案手法

• 化学ポテンシャルにおけるラプラシアン項を、非局所作用素 $ J \star \varphi $ に置き換えることにより、非局所的カーン＝ヒルヤール・反応拡散系を定式化する。これにより、細胞間の長距離接着をモデル化する。
• 順序パラメータ $ \varphi \in [-1,1] $（腫瘍細胞および健康細胞の体積分率を表す）を強制するために、$ \pm 1 $ で等しい最小値を持つ特異的ポテンシャル $ \Psi $ を使用する。
• 相分離領域における移動度の低下を反映するために、縮退する移動度 $ m(\varphi) $ および $ n(\varphi) $ を導入する。
• 変分的定式化とガレルキン近似を用いて弱解を導出し、エネルギー推定とコンパクト性の議論を用いる。
• 非局所性をエネルギー構造に組み込むために非局所作用素 $ \mathcal{N}^{-1} $ を用い、事前推定を導出する。
• グローヴァルの不等式およびヤングの不等式を用いて、初期データへの連続的依存性を証明する。非局所カーネルの有界性および移動度のリプシッツ連続性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 縮退する移動度と特異的ポテンシャルを伴う非局所的拡散界面腫瘍成長モデルが、弱解の意味で適切に定義可能であるか。
• RQ2 非局所的構造が、縮退する移動度と特異的ポテンシャルが存在する場合でも、初期データへの連続的依存性を保証できるか。
• RQ3 非局所的相互作用カーネル $ J $ は、局所的ケースと比較して、系のエネルギー構造および長時間挙動にどのように影響を与えるか。
• RQ4 非局所項 $ J \star \varphi $ は、解の安定化および $ \varphi $ に対する物理的制約の強制に果たす役割は何か。
• RQ5 移動度が境界 $ \pm 1 $ で縮退する場合、生物学的現実性を満たすために必要な条件下で、弱解の存在を確立できるか。

主な発見

• 本稿では、縮退する移動度と特異的ポテンシャルを伴う非局所的拡散界面腫瘍モデルに対して、弱解の存在を確立し、順序パラメータが $[-1,1]$ の範囲に保たれることを保証する。
• 適切な定義の結果は非局所的設定へと拡張され、滑らかなポテンシャルおよび非縮退する移動度の下で、弱解の存在および一意性が証明される。
• 追加の仮定の下で、初期データへの連続的依存性が証明され、非局所的構造およびカーネル $ J $ の有界性に依存する。
• エネルギー推定は非局所作用素 $ \mathcal{N}^{-1} $ を用いて導出され、$ \|\varphi\|_{V'}^2 + \|\sigma\|_{V'}^2 $ を含む微分不等式にグローヴァルの不等式を適用することで、系の安定性が示される。
• 非局所項 $ J \star \varphi $ は表面張力に類似した効果をもたらし、細胞接着および空間的再配置を捉えるモデルの能力を高める。
• 解析により、非局所モデルが、相分離や界面の正則化といった重要な物理的特徴を保持するとともに、縮退する移動度と特異的ポテンシャルを許容することが確認された。