[論文レビュー] On a Heegaard Floer theory for tangles

Claudius Zibrowius|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、3次元球体内のトゥーリングに対して局所的なヘーガードフローホモロジー理論を導入し、$ abla_T^s$ と表記されるトゥーリング固有のアレクサンダー多項式をカテゴライズ化する。この理論は、$\widehat{HFT}$ と表記され、サチュレートド・フローホモロジーとボーダーレス・サチュレートド・フローホモロジーの手法を用いて構成され、貼り合わせ定理が証明され、(2,−3)-プレッツェルトゥーリングを介した変種リンクが同じ$\delta$-次数付きリンクフローホモロジーを持つことが示され、計算的検証がなされている。さらに、4端点トゥーリングに対しては「特異モジュール」と呼ばれる構成を用いて理論を特化し、スケイン関係を回復させるとともに、$\delta$-次数付き変種不変性に関する予想を支持する。

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to define a "local" version of Ozsváth and Szabó's Heegaard Floer homology $\operatorname{\widehat{HFL}}$ for links in the 3-dimensional sphere, i.e. a Heegaard Floer homology $\operatorname{\widehat{HFT}}$ for tangles in the closed 3-ball. After studying basic properties of $\operatorname{\widehat{HFT}}$ and its decategorified tangle invariant $ abla_T^s$, we prove a glueing theorem in terms of Zarev's bordered sutured Floer homology, which endows $\operatorname{\widehat{HFT}}$ with an additional glueing structure. For 4-ended tangles, we repackage this glueing structure into certain curved complexes $\operatorname{CFT}^\partial$, which we call peculiar modules. This allows us to easily recover oriented and unoriented skein relations for $\operatorname{\widehat{HFL}}$. Our peculiar modules enjoy some symmetry properties, which support a conjecture about $δ$-graded mutation invariance of $\operatorname{\widehat{HFL}}$. In fact, we show that any two links related by mutation about a $(2,-3)$-pretzel tangle have the same $δ$-graded link Floer homology. In the last part of this thesis, we explore the relationship between peculiar modules and twisted complexes in the fully wrapped Fukaya category of the 4-punctured sphere. This thesis is accompanied by two Mathematica packages. The first is a tool for computing the generators of $\operatorname{\widehat{HFT}}$ and its decategorified tangle invariant $ abla_T^s$. The second allows us to compute Zarev's bordered sutured Floer invariants of any bordered sutured manifold using nice diagrams.

研究の動機と目的

• 3次元球体内のトゥーリングに対して、オルツヴァース＝ツァボーのリンクフローホモロジーを拡張する、局所的かつカテゴライズ化された不変量を構築すること。
• サチュレートド・フローホモロジーおよびボーダーレス・サチュレートド・フローホモロジーの枠組みを用いて、トゥーリング・フローホモロジー $\widehat{HFT}$ を定義すること。
• $(2,−3)$-プレッツェルトゥーリングを含むコンウェイ変種に関して、$\delta$-次数付きリンクフローホモロジーが不変であることを証明すること。
• 4端点トゥーリングにおける $\widehat{HFT}$ の構造を「特異モジュール」を用いて探求し、それらの代数的および幾何的性質を明らかにすること。
• 特異モジュールと4個の穴あき球面のラップド・フクヤカテゴリとの関係を調査すること。

提案手法

• カウフマン状態とアレクサンダー符号を用いて、$\nabla_T^s$ と表記されるトゥーリングの組み合わせ的不変量を定義し、$\widehat{HFT}$ の脱カテゴライズ化版を提供する。
• トゥーリングのヘーガード図を用いて、$\widehat{HFT}(T,s)$ を双次数付きチェーン複体として構成し、図の選択に依存しないホモトピー型を持つことを保証する。
• ジューハーシュのサチュレートド・フローホモロジーとザレフのボーダーレス・サチュレートド・フローホモロジーを用いて、$\widehat{HFT}$ を2通りの同値な方法で定義する。
• ボーダーレス・サチュレートド・フローホモロジーを用いて貼り合わせ定理を確立し、リンクの $\widehat{HFL}$ をトゥーリング不変量から計算可能にする。
• 4端点トゥーリングにおける $\widehat{HFT}$ の再定式化として「特異モジュール」を導入し、貼り合わせ構造を代数的に表現する。
• Mathematica（APT.m および BSFH.m）を用いた計算ツールを実装し、$\widehat{HFT}$ 複体の生成子、構造写像の計算、およびキャンセレーションやホモトピーの処理を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元球体内のトゥーリングに対して、リンクの $\widehat{HFL}$ に類似した局所的ヘーガードフローホモロジー理論を定義可能か？
• RQ2 $\widehat{HFT}$ の脱カテゴライズ化は、アレクサンダー多項式を一般化するトゥーリング不変量をもたらすか？
• RQ3 $(2,−3)$-プレッツェルトゥーリングを含む変種に関して、$\delta$-次数付きリンクフローホモロジーは不変か？
• RQ4 4端点トゥーリングにおける $\widehat{HFT}$ の構造は、「特異モジュール」と呼ばれる新しい代数的対象によって記述可能であり、それらがスケイン関係を回復できるか？
• RQ5 特異モジュールと4個の穴あき球面のラップド・フクヤカテゴリとの関係は何か？

主な発見

• $\widehat{HFT}(T,s)$ は、双次数付きチェーンホモトピー同値の意味でwell-definedであり、サイト構造を持つトゥーリングの位相的不変量を提供する。
• $\widehat{HFT}$ の脱カテゴライズ化により、多変数多項式 $\nabla_T^s$ が得られ、4端点トゥーリングでは変種不変性を示す。
• (2,−3)-プレッツェルトゥーリングを介した変種で関連する任意の2つのリンクは、$\delta$-次数付きリンクフローホモロジーが同一であり、計算支援による検証がなされている。
• 4端点トゥーリングの特異モジュールは、$\widehat{HFL}$ の向き付きおよび向きなしのスケイン関係を回復し、リンク不変量を再構成する上で有効であることを示している。
• 特異モジュールは、$\delta$-次数付き変種不変性の予想を支持する対称性関係を満たすが、完全な証明にはより強い対称性が必要である。
• 特異モジュールと4個の穴あき球面のラップド・フクヤカテゴリにおけるねじれ複体との間に深い関係が確立され、代数的不変量の幾何的解釈が示唆されている。