[論文レビュー] On a Multisymplectic Formulation of the Classical BRST Symmetry for First Order Field Theories Part II: Geometric Structures

S. P. Hrabak|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、多重シンプレクティック幾何学と順序付き多様体を用いて、一次場理論の共変ハミルトニアンBFV形式を展開する。Grassmann奇数のバンドル同型写像を用いた幾何学的BRST対称性を導入し、多項式BRST代数と、観測量の $\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-順序付きポisson-ライブニッツ代数を構成する。ノネルの運動量の保存は、単一の幾何学的方程式から導出される。

ABSTRACT

A geometric multisymplectic formulation of the classical BRST symmetry of constrained first-order classical field theories is described. To effect this we introduce graded analogues of the bundles and manifolds of the multisymplectic formulation of first-order field theories. The Lagrange-d'Alembert formalism is also developed in terms of the multisymplectic framework. The result is a covariant Hamiltonian BFV formalism.

研究の動機と目的

• 制約付き一次場理論のための幾何学的で共変なハミルトニアンBRST対称性の定式化を達成すること。
• 多重シンプレクティック枠組み内でラグランジュ＝ダランベールの原理を一般化し、ラグランジュ乗数と正準運動量を組み込むこと。
• Grassmann奇数の自由度（ゴースト）を幾何学的に表現できるように、配置バンドルと位相空間の順序付き類似物を構築すること。
• マーラン＝ヴァインシュタインの多重シンプレクティック還元の代数的構造を、順序付き多重シンプレクティック多様体上の幾何的対象に翻訳すること。
• 多重シンプレクティックラグランジュ＝ダランベール形式と、順序付き幾何的BRST構造を統合することで、共変ハミルトニアンBFV形式を確立すること。

提案手法

• 配置バンドル上の自由かつ適切な群作用から生じる積分可能分布を用いて、ラグランジュ乗数分布を導入する。
• ラグランジュ乗数とその正準運動量を追加することで、拡張された配置バンドルと多重位相空間を定義し、それらを多重シンプレクティック多様体とする。
• 運動方程式と共変ノネル運動量の保存を同時に得る単一の幾何学的方程式を用いて、ハミルトニアン運動方程式を一般化する。
• ゴースト場を幾何学的にモデル化するために、順序付き多様体を用いて、配置バンドル、多重位相空間、共変位相空間の順序付き類似物を構築する。
• 順序付き配置バンドル上で、Grassmann奇数でアーベルなバンドル同型写像を定義し、それを順序付き位相空間上のBRST対称性へ上昇させる。
• BRST作用素をGrassmann奇数の(n−1)形式によって生成されるポisson-ライブニッツ微分作用素として特定し、観測量が $\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-順序付きポisson-ライブニッツ代数をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次場理論における古典的BRST対称性は、どのように共変で多重シンプレクティックな枠組みで幾何学的に定式化できるか？
• RQ2 ラグランジュ乗数とその共役運動量は、変分構造を保ちつつ、どのように多重シンプレクティック形式に組み込むことができるか？
• RQ3 Grassmann奇数の自由度（ゴースト）はBRST形式において幾何学的にどのような役割を果たし、順序付き多様体を用いてどのようにモデル化できるか？
• RQ4 BRST作用素は、順序付き多重シンプレクティック多様体上でどのように多重シンプレクティズムとして実現され、元のゲージ対称性とどのように関係するか？
• RQ5 得られるBRST代数は、非共変な形式と比べて、空間微分の依存性を除いてどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、多重シンプレクティックラグランジュ＝ダランベール形式と、多重シンプレクティック多様体上の順序付き幾何的構造を統合することで、共変ハミルトニアンBFV形式を構築する。
• BRST対称性は、順序付き配置バンドル上のGrassmann奇数でアーベルなバンドル同型写像として実現され、それが順序付き位相空間上で多重シンプレクティズムに上昇する。
• 順序付き多重シンプレクティック多様体上の観測量は、$\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-順序付きポisson-ライブニッツ代数をなし、BRST作用素はGrassmann奇数の(n−1)形式によって生成される。
• 前稿の代数的微分複体は、部分代数およびポisson-ライブニッツ微分作用素として幾何学的に実現され、縮約された観測量はその零次ホモロジーで与えられる。
• 得られるBRST代数は正準変数に関して多項式的であるが、非共変な手法とは異なり、正準変数の空間微分を含まない。
• 共変ノネル運動量の保存と運動方程式は、すべて、拡張された多重シンプレクティック枠組みにおける単一の幾何学的方程式から導出される。