[論文レビュー] On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture

Nilotpal Sinha|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、素数における1を法とする擬似一様分布という新しい性質を導入し、Cramérの素数ギャップ予想を一般化する。$ p_n^{1/n} $ の漸近的挙動を分析することで、理論的およびヒューリスティックな証拠を提示し、Firoozbakhtの予想が成り立つことを示唆する。これにより、Cramér-Granvilleの予想が予測するよりもギャップが小さく、$ p_{n+1}-p_n < \tilde{O}(\text{const} \cdot \ln^2 p_n) $ という改良された上界が得られる。

ABSTRACT

I present a new property of prime numbers that leads to a generalization of Cramer's conjecture. The study of the gap between consecutive primes is treated as a special case of the gap between consecutive terms of sequences having a certain property called pseudo equidistribution. Both rigorous as well as heuristic arguments are given in support of the generalized Cramer's conjectures.

研究の動機と目的

• 1を法とする擬似一様分布という新しい性質を用いて、素数ギャップ問題を再定式化すること。
• この性質を持つ列に適用可能な、Cramérの予想の一般化形に対する理論的およびヒューリスティックな根拠を提供すること。
• 素数の $ p_n^{1/n} $ の漸近的挙動の分析に基づき、Firoozbakhtの予想がCramér-Granvilleの予想よりも正確であると主張すること。
• 列 $ a_n = -\frac{1}{\ln n}\ln\left(\frac{f(n)}{f(n+1)}-1\right) $ の挙動から、Cramérの予想より強い素数ギャップの上界を提案すること。
• 1を法とする擬似一様分布を示す列の一般化予想を提起し、Cramérのヒューリスティックをより広いクラスの列に拡張すること。

提案手法

• 列 $ s_n $ に対して、$ n \to \infty $ のとき、$ k \leq n $ に対する比 $ s_k/s_n $ が1を法として一様分布するという、1を法とする擬似一様分布の概念を導入する。
• $ f(n) = p_n^{1/n} $ を定義し、$ f(n) $ の相対的減衰を測る指標として $ a_n $ を導入する。$ a_n \geq 0 $ であればFiroozbakhtの予想が成立する。
• $ g(n) = n^{1/n} $ の漸近展開を用いて、$ b_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ を導出し、素数における $ a_n $ の期待される挙動をモデル化する。
• 最初の $ 10^6 $ 個の素数および整数について統計的分析を実施し、$ \text{mean}(a_n) \approx 1.79 $、$ \text{median}(a_n) \approx 1.79 $ が得られ、理論的 $ b_n $ の挙動とよく一致することが示された。
• Cramérの予想の十分条件を不等式 $ p_n^{1/n} > \left(1 - \frac{c_0 \ln p_n}{n^2}\right) p_{n+1}^{1/(n+1)} $ を用いて導出し、ギャップの上界を導出する。
• 2つの予想を提示する：弱い予想はCramér-Granvilleの上限を含み、強い予想は $ a_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ を主張し、よりタイトなギャップの上界を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1を法とする擬似一様分布を示す列に、素数ギャップの予想を一般化できるか？
• RQ2 素数における $ a_n $ の観察された統計的挙動（平均と中央値が約1.79）は、Firoozbakhtの予想を支持するか？
• RQ3 $ a_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ という漸近的挙動は素数の列に対して成り立つのか？ そしてそれは素数ギャップにどのような意味を持つのか？
• RQ4 $ n^{1/n} $ の類似物 $ b_n $ からのヒューリスティックな証拠は、Cramér-Granvilleの予想よりも強い $ p_{n+1} - p_n $ の上界を支持するか？
• RQ5 Cramérのモデルが整除性を考慮できないという欠陥は、擬似一様分布の概念を導入することで是正できるか？

主な発見

• 最初の $ 10^6 $ 個の素数における $ a_n $ の平均と中央値は、それぞれ約1.7919および1.7948であり、強い統計的規則性を示している。
• ヒューリスティックな分析により、$ a_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ が得られ、これにより $ \frac{f(n)}{f(n+1)} - 1 \sim \frac{1}{n^2} $ が導かれ、Firoozbakhtの予想が支持される。
• 導出された上界 $ p_{n+1} - p_n < \ln^2 p_n - 2\ln p_n + 1 $ は、Cramérの予想よりもタイトであり、Cramér-Granvilleの限界 $ 2e^{-\gamma} \approx 1.05 $ と矛盾する。
• 強い予想 $ \frac{-1}{\ln n}\ln\left(\frac{g(n)}{g(n+1)}-1\right) \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ は、1を法とする擬似一様分布を示す列に対して、$ s_{n+1} - s_n < \frac{s_n}{n}(\ln s_n - 1) + \frac{c s_n \ln^2 s_n}{n^2} $ を示唆する。
• 理論的分析により、$ f(n) > f(n+1) $ かつ $ f(n) > \left(1 - \frac{c_0 \ln p_n}{n^2}\right) f(n+1) $ であれば、$ p_{n+1} - p_n < (1 + c_0)(\ln^2 p_n - \ln p_n) + 1 $ が成り立つことが示され、Cramérの予想が支持される。
• 本稿は、Cramér-Granvilleの予想はおそらく誤りであり、Firoozbakhtの予想は理論的およびヒューリスティックな両面から支持されていると結論づける。