[논문 리뷰] On a new unified geometric description of gravity and electromagnetism

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 22.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시공간의 접다발 $TM$ 위의 접속의 리치 스칼라를 통해 아인슈타인-맥스웰 라그랑지안을 기반으로 중력과 전자기장을 통합하는 기하학적 프레임워크를 제안한다. $TM$ 위에 체적과 발산 성질을 유지하는 메트릭 완비를 구성함으로써, 1파rameter 가중치 접속 $ abla^{α}$의 리치 스칼라가 표준 아인슈타인-맥스웰 작용과 역학적으로 동치임을 보여주며, 변분 원리에 의해 전체 장 방정식과 보존 법칙을 유도할 수 있다.

ABSTRACT

In a previous paper, we have introduced a new unified description of the main equations of the gravitational and of the electromagnetic field, in terms of tidal tensors and connections on the tangent bundle TM of the space-time manifold. In the present work, we relate these equations to variational procedures on the tangent bundle. The Ricci scalar of the proposed connection is dynamically equivalent to the usual Einstein-Maxwell Lagrangian. Also, in order to be able to perform these variational procedures, we find an appropriate completion of the metric tensor (from the base manifold) up to a metric structure on TM.

연구 동기 및 목표

• 시공간의 접다발 $TM$를 사용하여 추가 차원 없이 중력과 전자기장을 기하학적으로 통합하는 것.
• 접다발 $TM$ 위의 접속을 구성함으로써 전자기장 스트레스-에너지 텐서를 아인슈타인 텐서에 통합하고, 그 리치 스칼라가 아인슈타인-맥스웰 라그랑지안을 재현하도록 하는 것.
• 기저 다발의 양적 성질인 체적 요소와 발산 성질을 유지하는 $TM$ 위의 체적 요소와 메트릭 완비를 정의하는 것.
• 단일 변분 원리에 기반하여 아인슈타인 장 방정식, 루렌츠 힘 법칙, 월드라인 편차 방정식을 유도하는 것.
• 기존 일반 상대성 이론에서의 에너지-운동량 보존 법칙에 대응하는 $TM$ 상의 보존 법칙을 수립하는 것.

제안 방법

• 접다발 $TM$ 위에 1파arameter 가중치 접속 $(\overset{\alpha}{N}, \overset{\alpha}{D})$를 도입하며, $\overset{\alpha}{N}$은 에흐레스만 접속이고 $\overset{\alpha}{D}$는 아핀 접속이다.
• 접다발 $TM$ 상의 지오데식 편차를 통해 조도 텐서를 정의하고, 접속 $\overset{\alpha}{D}$를 통해 전자기장 텐서 $F_{ij}$와 연결한다.
• 기저 다발의 적분과 발산의 성질을 유지하는 방식으로 $TM$ 위에 메트릭 완비를 구성하며, $M$ 상의 함수 적분이 $\Delta \times \tilde{\Delta}$ 상의 적분과 일치하도록 한다.
• 접속 $\overset{\alpha}{D}$의 리치 스칼라 $\tilde{R}$을 유도하고, 그것이 아인슈타인-맥스웰 라그랑지안과 역학적으로 동치임을 보여준다: $\tilde{R} = r + \frac{3\alpha^2}{2}F_{ij}F^{ij}$.
• $TM$ 상에서 변분 절차를 수행하여 전자기 기여를 포함한 일반화된 아인슈타인 텐서 $\mathcal{G}_{ij} = \tilde{R}_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{R}g_{ij} + \mathcal{B}_{ij}$를 도출한다.
• 접속 $\overset{\alpha}{D}$의 비앙키 항등식과 맥스웰 방정식이 $TM$ 상에서 보존 법칙 $\nabla_j(\mathcal{G}^{ij} - \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}^{ij}) = 0$을 유도함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인-맥스웰 라그랑지안은 접다발 $TM$ 위의 접속의 리치 스칼라로 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 기저 다발의 적분과 발산 성질을 유지하는 방식으로 $TM$ 위에 어떤 메트릭 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ3 운동 방정식과 편차 방정식을 단일 접속 $TM$ 상에서 유도할 수 있는가?
• RQ4 접속 $\overset{\alpha}{D}$에서 유도된 일반화된 아인슈타인 텐서는 전자기 스트레스-에너지 텐서를 포함한 표준 아인슈타인 장 방정식을 재현하는가?
• RQ5 기존 이론에서의 에너지-운동량 보존 법칙은 $TM$ 프레임워크 상에서 일반화된 아인슈타인 텐서 $\mathcal{G}_{ij}$의 발산이 0인 조건과 등가인가?

주요 결과

• 접속 $\overset{\alpha}{D}$의 리치 스칼라 $\tilde{R}$은 아인슈타인-맥스웰 라그랑지안과 역학적으로 동치이다: $\tilde{R} = r + \frac{3\alpha^2}{2}F_{ij}F^{ij}$.
• $\alpha^* = \sqrt{2k/(3c^4)}$일 때, 리치 스칼라 $\tilde{R}(\alpha^*)$는 표준 아인슈타인-맥스웰 작용을 유도한다: $S_{fg}(\alpha^*) = -\frac{c^3}{16\pi k}\int (r + \frac{k}{c^4}F_{ij}F^{ij})\sqrt{-g}d^4x$.
• 일반화된 아인슈타인 텐서 $\mathcal{G}_{ij} = \tilde{R}_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{R}g_{ij} + \mathcal{B}_{ij}$는 $\mathcal{B}_{ij} = \frac{3}{2}\frac{B^lB_l}{\|y\|^2} + \frac{1}{2}B_h^i B_i^h$를 통해 전자기 기여를 포함한다.
• 물질이 포함된 아인슈타인 장 방정식은 $\mathcal{G}_{ij} = \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}_{ij}$로 유도되며, 여기서 $\overset{m}{T}_{ij}$는 물질 스트레스-에너지 텐서이다.
• 비앙키 항등식과 맥스웰 방정식의 결과로 $TM$ 상에서 보존 법칙 $\nabla_j(\mathcal{G}^{ij} - \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}^{ij}) = 0$이 성립한다.
• 전자기 입자의 운동 방정식은 $\frac{\overset{\alpha}{D}y^i}{dt} = 0$이며, 세계선 편차 방정식은 $\frac{\overset{\alpha}{D}^2 w^i}{dt^2} = \overset{\alpha}{E}_j^i w^j$이다. 여기서 $\alpha = \frac{q}{mc^2}$이다.