[論文レビュー] On a parametrically extended entanglement-measure due to Tsallis relative entropy

Shigeru Furuichi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2005

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、相対エントロピーの一般化としてのツァリス相対エントロピーに基づくパrametricなもつれ尺度を提案する。この尺度は、相対エントロピーのもつれの一般化を拡張したものであり、非負性、ユニタリ不変性、単調性といった数学的性質を確立している。また、パrameter $ q $ の特定の値に対して、この尺度が標準的な相対エントロピーのもつれと一致することを示しており、特にヴェルナー状態の例では $ q = 0.35 $ において $ F \approx 0.9 $ および $ F \approx 0.98 $ のとき $ E_q^T(W_F) \approx E^R(W_F) $ となる。

ABSTRACT

In the previous paper \cite{FYK}, we mainly studied the mathematical properties of Tsallis relative entropy with respect to the density operators. As an application of it, we adopt a parametrically extended entanglement-measure due to Tsallis relative entropy in order to measure the degree of entanglement. Then we study its properies with respect to the parameter $q$ appearing in Tsallis entropies. In addition, the relation between it and the relative entropy of entanglement is studied.

研究の動機と目的

• 混合状態における量子もつれの定量的評価を目的とした、ツァリス相対エントロピーに基づくパrametricもつれ尺度の開発。
• 量子系におけるツァリス相対エントロピーの数学的性質（非負性、ユニタリ不変性、単調性）の確立。
• 提案された尺度と標準的な相対エントロピーのもつれとの関係の解明。
• 特定のパrameter $ q $ の値に対して、新しい尺度がヴェルナー状態のような特定のもつれ状態において相対エントロピーのもつれと正確に一致することの実証。

提案手法

• 量子ツァリス相対エントロピーを $ D_q(\rho|\sigma) = \frac{\mathrm{Tr}[\rho - \rho^q \sigma^{1-q}]}{1-q} $（$ 0 \leq q < 1 $）として定義し、量子相対エントロピーを一般化する。
• もつれ尺度 $ E_q^T(\sigma) = \min_{\kappa \in \text{sep}} D_q(\sigma|\kappa) $ を導入し、すべての分離状態 $ \kappa $ における最小化を経て、相対エントロピーのもつれを拡張する。
• $ E_q^T $ がもつれ尺度の標準的公理（非負性、分離状態で消えること、局所操作下での単調性）を満たすことを証明する。
• ツァリス相対エントロピーの擬似加法性：$ D_q(\rho_1 \otimes \rho_2 | \sigma_1 \otimes \sigma_2) = D_q(\rho_1|\sigma_1) + D_q(\rho_2|\sigma_2) + (q-1)D_q(\rho_1|\sigma_1)D_q(\rho_2|\sigma_2) $ を用いて、$ E_q^T $ の劣加法性を導出する。
• ヴェルナー状態 $ W_F $ を分析し、$ E_q^T(W_F) = \frac{1 - (1/4)^{1-q} F^q + (3/4)^{1-q} (1-F)^q}{1-q} $ を計算し、$ E^R(W_F) $ と数値的に比較する。
• $ E_q^T $ が $ q=0 $ で 0 に、$ q \to 1 $ で $ E^M $ に連続的に収束することを確立し、任意のもつれ状態 $ \sigma $ に対して $ E_q^T(\sigma) = E^R(\sigma) $ を満たす $ q \in [0,1) $ が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツァリス相対エントロピーを用いて、標準的公理を満たす有効なパrametricもつれ尺度を定義できるか？
• RQ2 提案された尺度 $ E_q^T $ と標準的な相対エントロピーのもつれ $ E^R $ の関係は何か？
• RQ3 与えられたもつれ状態に対して、どのパrameter $ q $ の値で $ E_q^T $ が $ E^R $ と一致するか？
• RQ4 $ E_q^T $ は劣加法性やもつれモノトーンの望ましい性質を満たすか？
• RQ5 新しい尺度はヴェルナー状態のようなベンチマーク状態に実用的に適用可能か？ また、$ E^R $ と定量的に比較するとどうなるか？

主な発見

• 提案されたもつれ尺度 $ E_q^T $ は、非負性、分離状態で消えること、トレース保存完全正値マップ下での単調性という3つの標準的公理を満たす。
• 任意のもつれ状態 $ \sigma $ に対して、$ E_q^T(\sigma) = E^R(\sigma) $ を満たすパrameter $ q \in [0,1) $ が存在することを示し、標準的な相対エントロピーのもつれを正確に回復できることを証明した。
• ツァリス相対エントロピーの擬似加法性のおかげで、$ E_q^T $ は劣加法性を満たす：$ E_q^T(\sigma \otimes \sigma') \leq E_q^T(\sigma) + E_q^T(\sigma') $。
• ヴェルナー状態 $ W_F $ に対して、数値的比較により $ E_{0.35}^T(W_F) \approx E^R(W_F) $ が $ F \approx 0.9 $ および $ F \approx 0.98 $ で成立することが示され、特定の $ q $ において定量的に高い一致を示した。
• $ q \to 1 $ のとき $ E_q^T $ は最大のもつれ測度 $ E^M $ に収束し、$ q = 0 $ では $ E_0^T(\sigma) = 0 $ となるため、パrameter $ q $ が連続的な補間を提供することがわかる。
• 密度演算子が非可逆であっても、$ \rho $ や $ \sigma $ の可逆性を仮定しない導出のため、尺度 $ E_q^T $ は well-defined である。