[論文レビュー] On a predator-prey system with random switching that never converges to its equilibrium

Alexandru Hening, Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、共通の平衡点を共有する2つの決定的ローティン＝ヴォルテラ力学系の間を確率的に入れ替えることで駆動される捕食者・被捕食者系を研究する。Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP) フレームワークを用いて、両系が平衡点を共有するにもかかわらず、軌道はほとんど確実にその平衡点に収束しないことを証明する。代わりに、被捕食者および捕食者個体数は0と∞の間を振動する。これはTakeuchiら（2006）の予想を確認するものである。主な結果は、正のリャプノフ指数の存在であり、これは切り替えの下で平衡点からの指数的発散を示唆する。

ABSTRACT

We study the dynamics of a predator-prey system in a random environment. The dynamics evolves according to a deterministic Lotka-Volterra system for an exponential random time after which it switches to a different deterministic Lotka-Volterra system. This switching procedure is then repeated. The resulting process is a Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP). In the case when the equilibrium points of the two deterministic Lotka--Volterra systems coincide we show that almost surely the trajectory does not converge to the common deterministic equilibrium. Instead, with probability one, the densities of the prey and the predator oscillate between $0$ and $\\infty$. This proves a conjecture of Takeuchi et al (J. Math. Anal. Appl 2006). The proof of the conjecture is a corollary of a result we prove about linear switched systems. Assume $(Y_t, I_t)$ is a PDMP that evolves according to $\\frac{dY_t}{dt}=A_{I_t} Y_t$ where $A_0,A_1$ are $2\ imes2$ matrices and $I_t$ is a Markov chain on $\\{0,1\\}$ with transition rates $k_0,k_1>0$. If the matrices $A_0$ and $A_1$ are not proportional and have purely imaginary eigenvalues, then there exists $\\lambda >0$ such that $\\lim_{t \ o \\infty} \\frac{\\log \\| Y_t \\|}{t} = \\lambda.$

研究の動機と目的

• Takeuchiら（2006）が提起した予想を解消すること：2つのローティン＝ヴォルテラ系の間を確率的に入れ替える捕食者・被捕食者系は、共通の平衡点に収束しないこと。
• 2つの決定的ローティン＝ヴォルテラ系の間を切り替えるPiecewise Deterministic Markov Process (PDMP) の長期的挙動を分析すること。
• 共通の平衡点が存在するにもかかわらず、収束を示さない、発散的挙動を示す条件を確立すること。
• 線形スイッチング系の結果を、平衡点まわりの線形化によって非線形捕食者・被捕食者モデルへと拡張すること。

提案手法

• スイッチングを{0,1}上の連続時間マルコフ連鎖が制御するPDMPとして系をモデル化し、正の遷移率k₀, k₁を用いる。
• 共通の平衡点(p,q)の周囲で系を線形化し、2×2行列A₀, A₁を用いた線形スイッチング系dYₜ/dt = A_{Iₜ}Yₜを導出する。
• 線形PDMPのリャプノフ指数理論を用いて、非比例的かつトレースゼロの行列条件の下で、上位リャプノフ指数Λ > 0であることを示す。
• 正のリャプノフ指数が存在することは、平衡点へのほとんど確実な収束の不成立および個体数密度の無限大振動を示唆することを証明する。
• 収束を背理法で除外するために、強マルコフ性とモーメント推定（Eₓ,ᵢ[η^{τ^ε}] ≤ C(1 + ||x−(p,q)||^{−θ})）を用いる。
• ベクトル場が非同一方向であり、αᵢ² + βᵢγᵢ < 0を満たすことで、線形系の不安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの決定的ローティン＝ヴォルテラ系の間を確率的に入れ替える捕食者・被捕食者系は、共通の平衡点に収束するか？
• RQ2 スイッチング過程がマルコフ的であり、両系が平衡点を共有する場合、個体数密度の長期的挙動はいかなるものか？
• RQ3 線形化された系のリャプノフ指数は、元の非線形PDMPの収束不成立を決定づけられるか？
• RQ4 スイッチングレートおよび系パラメータにどのような条件下で、軌道は有界または発散するか？
• RQ5 長期的には、この過程は一時的か、null再帰的か、正再帰的か？

主な発見

• PDMPの軌道は、共通の平衡点(p,q)にほとんど確実に収束しない。
• 確率1で、被捕食者および捕食者個体数はlimsup xₜ = limsup yₜ = ∞ および liminf xₜ = liminf yₜ = 0 を満たす。
• 正のリャプノフ指数λ > 0 が存在し、limₜ→∞ (log||Yₜ||)/t = λ を満たす。これは、平衡点からの指数的発散を示唆する。
• 収束しないのは、線形化された系が正の上位リャプノフ指数を持つことによる。これはA₀とA₁が非比例的であり、(αᵢ βᵢ; γᵢ -αᵢ)の形をしており、αᵢ² + βᵢγᵢ < 0を満たす場合に成立する。
• 証明は、モーメント推定と強マルコフ性に依拠し、過程が(p,q)に長期間近接していられないと示し、収束を否定する。
• この結果は、Takeuchiら（2006）の予想を確認する。すなわち、2つの系が個別に安定であっても、確率的スイッチングが収束を妨げる可能性がある。