[論文レビュー] On a question of O'Grady about modified diagonals

B.J. Moonen, Qizheng Yin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体における修正された対角サイクルに関するO'Gradyの予想の一般化を証明する。チャウモチーフと乗法-by-n自己準同型の作用を用いて、$X$ を基底スキーム $S$ 上の相対次元 $g$ のアーベルスキームとするとき、$X^m$ のチャウ環における修正された対角サイクル類 $Γ^m(X,a)$ が $m \geq 2g+1$ のとき torsion であることを示している。この結果は任意の切断 $a \in X(S)$ に対して成り立ち、O'Gradyの元の予想を相対的設定に拡張する。

ABSTRACT

Let X be an abelian variety of dimension g. In a recent preprint O'Grady defines modified diagonal classes Γ^m on X^m and he conjectures that the class of Γ^m in the Chow ring of X^m is torsion for m \geq 2g+1. We prove a generalization of this conjecture.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上の修正された対角サイクルのチャウ環における torsion 性に関するO'Gradyの予想を解決すること。
• O'Gradyの予想を、Dedekind基底スキーム $S$ 上の絶対的設定から相対的設定へ一般化すること。
• 相対次元 $g$ のアーベルスキーム $X$ に対して、$m \geq 2g+1$ のとき、修正された対角サイクル類 $\Gamma^m(X,a)$ が $\mathrm{CH}(X^m)$ で torsion であることを確立すること。
• チャウモチーフの構造と乗法-by-$n$ 自己準同型の作用を用いて、サイクル類の分解を分析すること。

提案手法

• 著者たちは、非空部分集合 $\{1,\dots,m\}$ でインデックス付けられた対角埋め込み部分多様体の交錯和を用いて、修正された対角サイクル $\Gamma^m(X,a)$ を定義する。
• 彼らは $S$ 上のチャウモチーフの圏で作業し、乗法-by-$n$ 自己準同型に対して安定なgradedな部分 $h^i(X)$ に沿った $h(X)$ の標準的分解を活用する。
• 主な技術的アプローチは、乗法-by-$n$ が $\Gamma^m$ に与える作用を分析することであり、$\mathrm{mult}_{X^m}(n)_*[̻^m] = n^{2g} \cdot [̻^m]$ が成り立つことを示す。これにより、サイクルは特定のモチーフ的成分に制約される。
• 各 $j$ 番目の因子を収縮する射影写像 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ を用いて、$\Gamma^m$ の任意の $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 沿いの押し出し（pushforward）が消えることを示す。
• 任意の $j$ に対して $i_j = 2g$ を満たすような、モチーフのテンソル積 $\otimes_j h^{i_j}(X)$ のチャウ群における $\Gamma^m$ の成分は、押し出し構造におけるキャンセルにより消えることを証明する。
• 主な議論は、$m \geq 2g+1$ のとき、$|i| = 2g(m-1)$ を満たすすべての $m$-重 $i = (i_1,\dots,i_m)$ が少なくとも一つの $i_j = 2g$ を含む必要があること、したがってサイクルが $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 沿いに消える成分に属することを示すことに帰着される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対次元 $g$ のアーベルスキーム $X$ に対して、$m \geq 2g+1$ のとき、修正された対角サイクル $\Gamma^m(X,a)$ はチャウ環 $\mathrm{CH}(X^m)$ で torsion か？
• RQ2 O'Gradyの修正された対角に関する予想は、一般のDedekind基底スキーム $S$ 上の相対的設定へ拡張可能か？
• RQ3 $h(X)$ の標準的分解に基づいて、$\Gamma^m(X,a)$ の正確なモチーフ的分解は何か？
• RQ4 乗法-by-$n$ 自己準同型の作用は、$\mathrm{CH}(X^m)$ 内のサイクル類 $\Gamma^m$ にどのように制限を加えるか？
• RQ5 射影 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 沿いの $\Gamma^m$ の押し出しは、どのような条件下で消えるか？

主な発見

• 修正された対角サイクル類 $[\Gamma^m(X,a)]$ は、$X^m$ のモチーフ $h^{2g(m-1)}(X^m)$ のチャウ群に属し、これは $X^m$ のモチーフ的分解における総次数 $2g(m-1)$ の成分に対応する。
• $m \geq 2g+1$ のとき、$|i| = 2g(m-1)$ を満たすすべての $m$-重 $i = (i_1,\dots,i_m)$ は、少なくとも一つの $i_j = 2g$ を含む必要があり、これによりサイクルは任意の $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 沿いに押し出されると消える成分に属することが保証される。
• $\Gamma^m$ の任意の射影 $\hat{\mathrm{pr}}_j$ 沿いの押し出しは、$I$ と $I \cup \{j\}$ でインデックス付けられた項の間のキャンセルにより、ゼロである。これはサイクルの構造的性質の鍵となる。
• 乗法-by-$n$ が $\Gamma^m$ に作用するとき、$\mathrm{mult}_{X^m}(n)_*[̻^m] = n^{2g} \cdot [̻^m]$ が成り立つ。これはサイクル類がスケーリングに対して $n^{2g}$ の因子を除き不変であることを示し、そのモチーフ的サポートを制約する。
• $m \geq 2g+1$ のとき、サイクル類 $[\Gamma^m(X,a)]$ は $\mathrm{CH}(X^m)$ で torsion である。これは、押し出し構造とモチーフ的分解に起因して、その成分が消えるためである。
• 任意の切断 $a \in X(S)$ に対して結果が成り立つ。なぜなら、$a$ による平行移動は、torsion 性を保つ同型を誘導するため、零切断 $e$ の場合に限って証明すれば十分である。