[論文レビュー] On a theorem of Faltings on formal functions

Paola Bonacini, Alessio Del Padrone+1 more|ArXiv.org|Oct 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Faltingsの定理に関する2つの基本的なグローバル幾何的証明を提供する。その定理は、射影的代数的多様体 $X$ 上の形式的有理関数が、$\mathbb{P}^n$ 内の $r \leq d-1$ 個の超平面と $X$ の交わり $Y$ に沿って拡張可能であることを示している。ここで $\dim X = d > 2$ である。主な結果は、$X$ 上の $Y$ に沿った任意の形式的有理関数が一意に $X$ 上の有理関数に拡張可能であることを確立し、Hironaka-Matsumuraの定理とインシデント構成を用いたアクセス可能な幾何的議論により、深い局所的結果を解消する。

ABSTRACT

In 1980, Faltings proved, by deep local algebra methods, a local result regarding formal functions which has the following global geometric fact as a consequence. Theorem: Let k be an algebraically closed field (of any characteristic). Let Y be a closed subvariety of a projective irreducible variety X defined over k. Assume that X \subseteq P^n, dim(X)=d>2 and Y is the intersection of X with r hyperplanes of P^n, with r \le d-1. Then, every formal rational function on X along Y can be (uniquely) extended to a rational function on X. Due to its importance, the aim of this paper is to provide two elementary global geometric proofs of this theorem.

研究の動機と目的

• 形式的関数に関するFaltingsの深い結果を、局所代数に依存するためアクセスが難しいが、容易に理解できるグローバル幾何的証明を提供すること。
• 射影的多様体 $X$ の部分多様体 $Y \subset X$ に沿った形式的有理関数が、$Y$ が $X$ と超平面の交わりとして低余次元で与えられる場合、一意に $X$ 上の有理関数に拡張可能であることを示すこと。
• Faltingsの結果を代数的幾何の文脈、特にFulton-Hansenの連結性定理のような応用分野においてより利用可能なものにする。
• 射影的多様体内の部分多様体に対して $G3$ 性質が成り立つ条件を一般化・明確化すること。
• 2つの異なる幾何的構成——1つは準同型とファイバー解析に基づくもの、もう1つはインシデント多様体に基づくもの——を提供し、問題を形式幾何における既知の定理に還元すること。

提案手法

• 射影空間上の形式的有理関数に関するHironaka-Matsumuraの定理を用い、問題を射影空間上の形式的スキームのケースに還元すること。
• インシデント多様体 $\Gamma \subset X \times P$ を用いた、$X' \to X$ のような有理的同型写像 $f$ の構成、ここで $P$ は $(r+1)$-重の線形形式の族をパラメータ化する射影空間である。
• インシデント多様体 $Z \subset X \times P$ から得られる射影的写像 $g: Z \to P$ の使用、ここで $P$ の点ごとのファイバーは $X$ と $r+1$ 個の超平面の交わりに対応する。
• 次元の議論と射影の全射性を用い、$g^{-1}(L) \subset f^{-1}(Y)$ を満たす次元 $\geq 1$ の連結部分多様体 $L \subset P$ の存在を保証し、$G3$ 性質の適用を可能にする。
• $X$ が正規かつ既約で $Y$ が連結であるとき $K(X_{/Y})$ が体であるという事実を活用し、幾何的リフトを介して $G3$ 条件の検証に帰着すること。
• $G3$ 性質の適用：$X'$ において $Y'' \subset X'$ が $G3$ であり、$Y$ に支配的写像をなすならば、$Y$ は $X$ において $G3$ である。形式的関数のリフトを介してこのことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような幾何的条件下で、部分多様体 $Y \subset X$ に沿った任意の形式的有理関数が $X$ 上の有理関数に一意に拡張可能となるか？
• RQ2 Faltingsの形式的関数に関する深い局所的結果を、グローバル幾何的構成と代数的幾何の古典的定理のみを用いて再証明可能か？
• RQ3 特に $\dim X = d > 2$ かつ $Y$ が $X$ と $r \leq d-1$ 個の超平面の交わりであるとき、$Y$ の余次元が形式的関数の拡張を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 局所コホホロジーまたは形式的スキームを用いずに、インシデント幾何と写像論を用いて $Y$ が $X$ において $G3$ であることをどのように確立できるか？
• RQ5 インシデント多様体や射影的写像などの幾何的構成を用いて、$\mathbb{P}^n$ 上の形式的関数の既知のケースに $G3$ 性質を還元可能か？

主な発見

• 射影的多様体 $X \subset \mathbb{P}^n$ が次元 $d > 2$ で既約であり、$Y = X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_r$ で $r \leq d-1$ かつ $k$ が代数的閉体である限り、$X$ 上の $Y$ に沿った任意の形式的有理関数は一意に $X$ 上の有理関数に拡張可能である。
• $Y$ が $X$ において $G3$ であることは、2つの異なる幾何的構成により確立される：1つは有理的同型写像 $f: X' \to X$ と部分多様体 $Y'' \subset X'$ を用いるもの、もう1つはインシデント多様体 $Z \subset X \times P$ と写像 $g: Z \to P$ を用いるものである。
• 2番目の証明では、$g^{-1}(L) = Y \times L \subset f^{-1}(Y)$ を満たす直線 $L \subset P$ を構成し、$L$ が連結かつ次元 $\geq 1$ であることから、$Y$ が $X$ において $G3$ であることが保証される。
• 主要な技術的道具は、Hironaka-Matsumuraの定理であり、これは $Y$ が連結かつ正次元であるとき $K(\mathbb{P}^n_{/Y}) \cong K(\mathbb{P}^n)$ を示す。
• 証明は、有理的同型写像および支配的写像の下で $G3$ 性質が保存されることを示し、既知の $\mathbb{P}^n$ のケースに還元可能であることを示している。
• 結果として、形式的完成 $X_{/Y}$ が体であることが確認され、これは $Y$ が $X$ において $G3$ であることと同値であり、この性質は提示された余次元および次元の制約のもとで成り立つ。